о, що інтеграл Стілтьєса (2.41) переходить в інтеграл Рімана, якщо функція диференційовна, тобто має в кожній точці похідну:
У цьому випадку між функціями має місце співвідношення спектральний частотний випадковий поле
тому можна назвати інтегральним спектром функції.
У теорії випадкових функцій доводиться, що функція, значення якої отримані підсумовуванням великого числа взаємно некоррелірованних випадкових величин, недіфференціруемого. У нашому випадку функція частоти виходить підсумовуванням великого числа випадкових амплітуд, і ці амплітуди виявляються взаємно некоррелірованнимі, якщо формований підсумовуванням гармонік випадковий процес стационарен.
З усього цього випливає, що інтеграл Фур'є-Рімана не може бути використаний для спектрального уявлення стаціонарного випадкового процесу зважаючи недіфференціруемого функції Інтеграл Стілтьєса як сума збільшень будь-якої функції, у тому числі недиференційованої, виявляється єдино застосовної інтегральної формою спектрального уявлення стаціонарних випадкових функцій.
Цей висновок справедливий і для однорідних, і для стаціонарно-однорідних випадкових полів, оскільки однорідність - це стационарность стосовно до функцій просторових координат. Стаціонарні та стаціонарно-однорідні моделі полів широко використовуються в прикладному аналізі, тому будемо надалі використовувати для спектрального уявлення випадкових функцій ін¬теграли Фур'є-Стільтьеса виду (2.41).
.6 Спектральне представлення випадкового поля із суцільним частотно-хвильового?? спектром
Інтегральна форма спектрального уявлення випадкового поля може бути отримана таким же формалізованим методом, який був використаний при спектральному поданні детермінованого поля. Тільки тепер доведеться використовувати ланцюжок інтегральних перетворень Фур'є-Стілтьєса.
де - позначення приросту функції за трьома складовими вектора.
Кратний інтеграл Фур'є-Стілтьєса (2.50) називається стохастичним (випадковим) і є математичною формою спектрального уявлення випадкового поля з суцільним частотно-хвильовим спектром. Підінтегральна функція описує випадкове поле біжить плоскою гармонійної хвилі з детермінованою поточної фазою і випадкової амплітудою При цьому випадкова амплітуда хвилі представлена ??у вигляді приросту багатовимірної функції по всім змінним.
Фізична трактування рівності (2.50) така ж, як і у випадку детермінованого поля: випадкове поле довільного виду представлено у вигляді суперпозиції полів випадкових гармонійних біжать плоских хвиль всіх тимчасових і просторових частот.
1.7 Умови стаціонарності випадкового процесу, представленого в спектральної формі. Спектр потужності стаціонарного процесу
Спектральне представлення випадкового процесу стохастичним інтегралом Фур'є-Стілтьєса (2.41) дозволяє отримати формулу спектрального уявлення моментних характеристик процесу, що більш важливо для практичних додатків. Ці формули виявляються найбільш простими, якщо випадковий процес стационарен.
Ознаки стаціонарності випадкового процесу в рамках кореляційної теорії такі ж, як і для стаціонарного випадкового поля (параграф 1.4), тобто математичне очікування і дисперсія процесу не залежать від часу:
А автокорреляция залежить тільки від різниці часів відліку
формула спектрального уявлення дисперсії стаціонарного випадкового процесу (2.41) інтегралом Рімана:
де по розмірності і фізичному сенсу є частотної щільністю дисперсії і називається «частотної щільністю потужності», або «частотним спектром потужності» стаціонарного випадкового процесу, представленого інтегралом Фур'є-Стільтьеса (2.41).
Зауважимо, що значення - це дисперсія амплітуди випадкової гармоніки частотою - одного з «цеглинок», що утворюють процес. Ми з'ясували, що гармоніки різних частот в стаціонарному процесі взаємно корельовані. Тоді вираз (2.64) є математичною формулюванням слідства з теореми про кореляцію суми взаємно некоррелірованних функцій, а саме: дисперсія суми некореллірованних гармонік дорівнює сумі дисперсій доданків.
Спектр - парна функція частоти (див. задачу 2.10), тому
де використана функція лінійної частоти, вимірюваної в герцах.
формула для розрахунку величини дисперсії стаціонарного процесу, якщо відомий його односторонній частотний спектр потужності.
1.8 Автокорреляция стаціонарного процесу...
