align="justify"> Згідно з визначенням циклічного коду для побудови виробляє матриці P n, k досить вибрати тільки одну вихідну < i align="justify"> n - розрядну комбінацію V 1 ( x). Циклічним зрушенням можна отримати ( n - 1) різних комбінацій, з яких будь k комбінацій можуть бути взяті в якості вихідних. Підсумовуючи рядки виробляє матриці у всіх можливих комбінаціях, можна здобути інші кодові комбінації. Можна показати, що кодові комбінації, одержувані з деякої комбінації V 1 (x) циклічним зрушенням, задовольняють умовам, що пред'являються до сукупності вихідних комбінацій.
Циклічний зсув комбінації з одиницею в старшому n - м розряді рівносильний множенню відповідного многочлена на x з одночасним вирахуванням з результату многочлена ( х п - 1) або ( х п +1), так як операції здійснюються по модулю два. Отже, якщо в якості вихідного взяти деякий поліном Р (х), то процес отримання базових поліномів можна представити в наступному вигляді:
U 1 ( x)=P (x) < i align="justify"> 2 ( x)=P (x) x - C 2 (x n + 1);
U 3 ( x)=P (x) x 2 - C 3 (x n + 1); ( 3)
......
U n ( x)=P (x) x n - 1 - C n (x n + 1),
де З 2, З < i align="justify"> 3, . З n - коефіцієнти, що приймають значення 1 при Р (х) х i ? (х п - 1) і значення 0 при Р (х) x i lt; (х п - 1).
При такому способі побудови базових поліномів поліном Р (х) називають утворюючим.
Якщо прийняти умову, що поліном Р (х) є дільником двочлена ( х п +1), то базові комбінації, а разом з ними і всі дозволені комбінації коду набувають властивість подільності на Р (х). З цього випливає, що приналежність кодової комбінації до групи дозволених можна легко перевірити поділом її полінома на який утворює поліном Р (х). Якщо залишок від ділення дорівнює нулю, то комбінація є дозволеною.
Ця властивість циклічного коду використовується для виявлення або виправлення помилок. Дійсно, якщо під впливом перешкод дозволена кодова комбінація трансформується У заборонену, то помилка може бути виявлена ??по наявності залишку при діленні комбінації на який утворює поліном Р (х).
Таким чином, утворює поліном Р (х) повинен задовольняти вимогу - він повинен бути дільником двочлена ( х п +1). Вибір Р (х) однозначно визначає циклічний код і його коригувальні властивості.
Циклічний ( n, k) - код може бути отриманий шляхом множення простого k -значний коду , вираженого у вигляді полінома ступеня ( k - 1), на деякий утворює поліном Р (х) ступеня ( n - k).
Можлива й інша процедура отримання циклічного коду. Для цього кодова комбінація простого k -значний коду G (х) множиться на одночлен x nk , а потім ділиться на утворює поліном Р (х) ступеня ( n - k). У результаті мн...
