оження G (х) на x nk ступінь кожного Одночлен, що входить в G (х), підвищиться на ( n - k). При поділі праці x nk G (x) на утворює поліном Р (х) вийде приватне Q (х) такій же мірі, як і G (х).
Результат множення і ділення можна представити в наступному вигляді:
x nk G (х)/Р (х)=Q (х) + R (х)/Р (х), (4)
де R (х) - залишок від ділення x nk G (х) на Р (х).
Так як приватна Q (х) має таку ж ступінь, як і кодова комбінація G (х), то Q (х) також є комбінацією простого k -значний коду.
Множачи обидві частини рівності (4) на Р (х) і провівши деякі перестановки, отримаємо
F (x)=Q (х) Р (х) = x nk G (х) + R (х). ( 5)
У правій частині (5) знак мінус перед R (х) замінений знаком плюс, так як віднімання за модулем два зводиться до додавання.
Таким чином, кодова комбінація циклічного ( n, k ) - коду може бути отримана двома способами:
· шляхом множення простий кодової комбінації ступеня ( k - 1) на одночлен x nk і додавання до цього твору залишку, отриманого від ділення отриманого твори на утворює поліном Р (х) ступеня ( n - k);
· шляхом множення простий кодової комбінації ступеня ( k - 1) на утворює поліном Р (х) ступеня ( n - к).
При першому способі кодування першого k символів отриманої кодової комбінації збігаються з відповідними символами вихідної простий кодової комбінації.
При другому способі в отриманій кодової комбінації інформаційні символи не завжди збігаються з символами вихідної простої комбінації. Такий спосіб легко реалізуємо, але внаслідок того, що в отриманих кодових комбінаціях не містяться інформаційні символи в явному вигляді, ускладнюється процес декодування.
У зв'язку з вищевикладеним на практиці зазвичай використовується перший спосіб отримання циклічного коду.
2.2 Кодування циклічних кодів
Як було показано, комбінація циклічного коду має вигляд многочлена f (x)=g (x) q (x)=x nm u (x) + r (x). При передачі такої комбінації по каналу зв'язку на приймальній стороні отримана комбінація p (x). При наявності помилок многочлен p (x), взагалі кажучи, не ділиться на g (x), чим і виявляється наявність помилок.
Приклад. Нехай і (x)=1 + x 2 + x 3 + x 7 + x 9 =1011000101, g (x)=1 + х 2 + x 4 + x 5 =101011 , тоді x nm =х 5 і x nm u (x) = x 5 + x 7 + x 8 + x 12 + x 14 = 000001011000101 . Зробимо розподіл x nm u (x) на g (x). У результаті поділу отримаємо частное q (х)=110101011 і залишок r=01110 ( нагадаємо, що поділ починається зі старших розрядів). Кодовий многочлен має наступний вигляд:
