о вигляді закону розподілу за допомогою критерію Пірсона.
2. Постановка завдання
Є система, що складається з блоків, які функціонують незалежно один від одного і можуть в ті чи інші моменти часу виходити з ладу. Деякі з блоків дублюються, тобто при відмові одного з блоків його функції може виконати інший, що підвищує надійність системи.
Якщо відмови деякого блоку являють собою пуассоновский потік подій, то час його безвідмовної роботи (?) є випадкова величина, розподілена по показовому закону, тобто її функція розподілу:
, якщо t lt; 0
F (t)=P (? lt; t)=(1)
1 - e -? * t, якщо t? 0
де?- Позитивний параметр (інтенсивність відмов).
При цьому подія? ? t рівнозначно тому, що на інтервалі від 0 до t не відбувається жодної відмови, тобто даний блок працює. Імовірність такої події дорівнює:
P (?? t)=1 - F (t)=e -? * t (t gt; 0). (2)
Знаючи ймовірність безвідмовної роботи кожного блоку як функцію від t, можна знайти функцію розподілу часу безвідмовної роботи всієї системи.
У курсовій роботі задається функціональна схема системи, що складається з блоків двох типів - з інтенсивностями відмов? 1 і? 2, відповідно. Значення параметрів? 1 і? 2 невідомі, але їх можна оцінити на підставі результатів експерименту, використовуючи методи математичної статистики, наприклад метод моментів.
Вважається, що проведено велику кількість дослідів, у кожному з яких фіксувалася тривалість безвідмовної роботи системи. Результати дослідів представлені у вигляді асоційованої вибірки, тобто вказані інтервали [ti - 1, ti] і ni - кількість значень випадкової величини?, що потрапили у відповідний інтервал.
При виконанні роботи потрібно:
1) На підставі функціональної схеми побудувати математичну модель - функцію розподілу часу безвідмовної роботи системи і його щільність ймовірності.
2) Застосовуючи метод моментів, знайти оцінки параметрів? 1 і? 2.
) Побудувати гістограму і порівняти її з графіком оцінки щільності ймовірності, отриманої з використанням знайдених оцінок? 1 і? 2.
) Побудувати вибіркову функцію розподілу і порівняти її з оцінкою функції розподілу, отриманої з використанням знайдених оцінок? 1 і? 2.
) Перевірити гіпотезу про вигляді закону розподілу за допомогою критерію Пірсона.
розподіл параметр система ймовірність
3. Виконання курсової роботи
.1 Завдання
.1.1 Функціональна схема системи
Функціональна схема системи зображена на малюнку 1.
Малюнок 1 - Функціональна схема системи
3.1.2 Експериментальні дані
Експериментальні дані наведені в таблиці 1.
Таблиця 1
Експериментальні дані
№Начало інтервалаКонец інтервалаКолічество точек1031079231062017436209301564930124015751240155011561550186071718602170788217024804392480279038102790310025113100341025123410372015133720403071440304340101543404650516465049605174960527021852705580319558058901205890620002162006510022651068200236820713012471307440025744089901
3.2 Виконання роботи
.2.1 Побудова моделі
Зафіксуємо деякий момент часу t gt; 0.
Нехай подія А - безвідмовна робота системи протягом інтервалу часу (0, t).
Тоді, позначивши через А k безвідмовну роботу k-го блоку протягом цього інтервалу (k=1,2,3,4). Відповідно до функціональної схемою можна записати:
А=А 1 + А 4 (А 2 + А 3).
Використовуючи теореми додавання і множення, з урахуванням незалежності в сукупності подій А 1, А 2, А 3, А 4 -Отримайте:
Р (А)=Р (А 1 + А 4 (А 2 + А 3)=Р (А 1) + Р (А 4) (Р (А 2) + Р (А 3 ) - Р (А 2) Р (А 3)) -
Р (А 1) Р (А 4) (Р (А 2) + Р (А 3) - Р (А 2) Р (А 3))
Вважаючи, що час безвідмовної роботи кожного блоку розподілено по показовому закону з параметрами? 1,? 2, тобто
,
матимемо:
Звідси функція розподілу часу безвідмовної роботи системи:
(1)
