align="justify"> (t gt; 0).
Диференціюючи функцію розподілу, отримаємо щільність ймовірності:
(2)
3.2.2 Знаходження оцінок параметрів за методом моментів
Знайдемо спочатку початкові моменти 1 і 2 порядку:
На підставі асоційованої вибірки обчислимо вибіркові моменти:
де
- середина i-го інтервалу,
- обсяг вибірки,
? кількість інтервалів.
Результати:
k=25 n=1 011=1379.362018=2987060.806
Складемо систему рівнянь для знаходження оцінок параметрів:
Привівши обидва рівняння до загальних знаменників, звівши обидві частини першого рівняння в квадрат і розділивши почленно на друге рівняння, отримаємо:
Розділимо чисельник і знаменник на і позначивши - прийдемо до рівняння:
У нього є 2 позитивних кореня: 1,014 і 3,522.
Розглянемо корінь 1,014.
Підставами тепер в перше рівняння системи.
Звідси знайдемо оцінки параметрів:
Використовуючи знайдені оцінки, отримаємо оцінки функції розподілу та щільності ймовірності:
(2)
(Тут: t gt; 0; при t 0 обидві функції рівні 0).
.2.3 Графік оцінки щільності ймовірності та гістограма
Для побудови гістограми знайдемо висоти відповідних прямокутників:
Таблиця 2
Значення висот прямокутників гістограми.
ih i ih i 10,000252143,19071E - 0520,000555151,59535E - 0530,000498161,59535E - 0540,000501176,38142E - 0650,000367189,57213E - 0660,000227193,19071E - +0670, 00024920080,00013721090,000121220107,98E - 05233,19071E - 06117,98E - 05240124,79E - 05256,38142E - 07132,23E - 05
Рисунок 1 - Графік оцінки щільності ймовірності та гістограма
3.2.4 Оцінювання функції розподілу
Значення вибіркової функції розподілу
в точках ti можна знайти за формулою:
при цьому.
Ці значення, а так само, обчислені за формулою (1) наведені в таблиці 2. Відповідні графіки зображені на малюнку 2.
Таблиця 2
Значення F * (ti) і
it i F * (t i) it i F * (t i) 13100,078140,0715211443400,9821960,97990226200,2502470,2299631546500,9871410,9849839300,404550,4034051649600,9920870,988751412400,5598420,555041752700,9940650,991561515500,6735910,6745271855800,9970330,993661618600,7438180,763841958900,9980220,995234721700,8209690,8288642062000,9980220,996414824800,8635010,8756742165100,9980220,9973927900,9010880,9092852268200,9980220,9979661031000,9258160,9334792371300,9990110,9984681134100,9505440,950982474400,9990110,9988451237200,9653810,96371525899010,9997181340300,9723050,973039
Малюнок 2 - оцінювання функції розподілу
Видно, що оцінка функції розподілу, отримана на основі побудованої математичної моделі за допомогою методу моментів, дуже близька до вибіркової функції розподілу.
3.2.5 Перевірка гіпотези про вид закону розподілу
Проверяемая гіпотеза H 0 про те, що функція розподілу часу безвідмовної роботи розглянутої системи дійсно задається формулою (1).
Відповідно до критерію Пірсона використовуємо статистику
- ймовірність попадання випадкової величини? в i-й інтервал. Оскільки значення параметрів невідомі, замість функції F (t) береться її оцінка (1). Крім того, при обчисленні вважаємо:
Задамо рівень значимості?=0.05 і будемо шукати критичне значення U кр з умови:
Як відомо, при справедливості гіпотези H 0 можна вважати, що статистика U розподілена за законом хі-квадрат з числом ступенів свободи
r=k - 1-m,
де m- кількість оцінюваних параметрів, тобто в нашому випадку: r=25-3=22.
Тому в якості U кр візьмемо значення sr,? , Яке визначається умовою:
де - випадкова величина, розподілена за законом хі-квадрат з числом ступенів свободи r.
З таблиці розподілу хі - квадрат маємо: U кр...
