ів регресійної моделі з шумами, що мають розподіл Стьюдента зі ступенями свободи менше 13 (але не з 1 ступенем, тому що це розподіл Коші), логістичне розподіл, а так ж при розподілі Тьюки.
Таблиця 2.1
длярангового методаМНКМНМСтандартное нормальне распределеніе0,19590,17680,2677Распределеніе Лапласа0,24160,33320,2464Распределеніе Коші0,690916958,22740,5641Распределеніе Стьюдента з 2 ступенями свободи0,33991,68140,3652Распределеніе Стьюдента з 3 ступенями свободи0,27660,47700,3337Распределеніе Стьюдента з 5 ступенями свободи0,24880,30540,3102Распределеніе Стьюдента з 13 ступенями свободи0,20060,19470,2740Двугорбое розподіл на основі комбінації гауссовскіх1,3196 0,83603,0581Распределеніе Тьюки (?=0,1,? 12=100,? 22=1 ) 0,2991 1,89100,3551Треугольное распределеніе0,0328 0,02710,0477Двугорбое розподіл на основі комбінації треугольних0,07960,04820,2046Логістіческое распределеніе0,52430,5530,6847
Так само було проведено ряд додаткових експериментів з розподілом Тьюки з різними значеннями параметрів: рівнем зашумлення? і значеннями дисперсій? 1 лютому і? 2 лютого. Результати представлені в таблиці 2.2. З цих результатів випливає, що ранговий метод дає найбільш точну оцінку при помірному значенні дисперсій комбінованих величин і невеликому значенні рівня зашумлення. При збільшенні кожного з цих параметрів в певний момент МНМ-оцінка стає більш точною, МНК-оцінка досить швидко втрачає свою точність.
Таблиця 2.2
Частка зашумлення? Дисперсії? 1 лютому і? 2 2 Помилка рангової оценкіОшібка МНК-оценкіОшібка МНМ-оценкі0,05? 1 лютому=10,? 2 лютого=10,20850,24110,2850,05? 1 лютому=200,? 2 лютого=10,21541,92020,29110,05? 1 лютому=100,? 2 лютого=51,1331,77671,43420,1? 1 лютому=10,? 2 лютого=10,25440,33170,34080,1? 1 лютому=200,? 2 лютого=10,28153,74290,32180,1? 1 лютому=100,? 2 лютого=51,29362,51611,55010,2? 1 лютому=10,? 2 лютого=10,31490,46240,37450,2? 1 лютому=200,? 2 лютого=10,42396,96050,41640,2? 1 лютому=100,? 2 лютого=51,66513,96541,7696
У додатку № 2 представлені коди для Matlab, за допомогою яких генерувалися випадкові величини в експериментах. У додатку № 3 представлений приклад коду, що обчислює результати експерименту для гауссовского розподілу шумів в моделі.
Отже, у цьому розділі були розглянуті використовувані в експериментах розподілу випадкових величин, методи їх моделювання та наведено алгоритм проведення експериментів. Так само були представлені результати експериментів і зроблені висновки, що стосуються точності методів оцінювання параметрів моделей при різних розподілах шумів.
Асимптотична відносна ефективність
Обчислення АОЕ рангового методу по відношенню до МНК і МНМ дозволяє зробити висновки про те, який метод краще застосовувати для оцінки параметрів в моделях з великим обсягом вибірки.
Згідно Т. Хеттманспергеру, АОЕ одного методу по відношенню до іншого визначається як корінь ступеня p зворотного відношення узагальнених дисперсій оцінок параметрів, отриманих цими методами. Під узагальненої дисперсією вектора оцінок параметрів розуміється визначник матриці коваріацій оцінок параметрів, p - число параметрів в моделі. Якщо отримане число менше одиниці, то альтернативний метод ефективніше. Інакше більш ефективним вважається даний метод.
Коваріаційна матриця МНК-оцінки, згідно Дж. Себеріо, має вигляд, де X - матриця плану, а? 2 - дисперсія шумів моделі. У випадку, коли передбачається, що вектор шумів має гауссовское n-мірне розподіл з нульовим математичним очікуванням і ковариационной матрицею? 2 I n (діагональна, на діагоналі - дисперсії? 2), можна стверджувати, що вектор МНК-оцінок параметрів регресії має гауссовское m-мірне розподіл з математичним очікуванням?- Вектором реальних значень параметрів, і ковариационной матрицею.
У книзі Т. Хеттманспергера приведено наступна теорема:
Нехай - будь-яка точка, що мінімізує функцію D (Y - X?). Тоді, якщо вектор? містить істинні значення параметрів і виконуються наступні припущення:
· у функції D (Y - X?) використовуються ваги,
· матриця [1X] (зі стовпцем з одиниць) має повний столбцовая ранг,
· матриця n - 1 [1X] T [1X] сходиться до позитивно певної матриці, і матриця n - 1 XTX сходиться до позитивно певної матриці?, то вектор з розподілу сходиться до величини, що має m-мірне гауссовское розподіл з нульовим математичним очікуванням і ковариационной матрицею, де f (x) - щільність розподілу шуму. У статті Д. Полларда наведена теорема про розподіл МНМ-оцінок параметрів регресійної моделі:
Нехай шуми? i незалежні, однаково розподілені, з нульовою медианой і безупинної, позитивної функцією...
