щільності f (.) в околиці нуля. Нехай {xi} - детермінована послідовність, для якої матриця має позитивно певний квадратний корінь V n. Якщо при, то вектор має асимптотичне багатовимірний нормальний розподіл з нульовим математичним очікуванням і одиничною ковариационной матрицею.
Умови на {xi} виконуються, якщо існує позитивно певна матриця V, така що. Тоді вектор має m-мірне гауссовское розподіл з нульовим математичним очікуванням і ковариационной матрицею.
Тоді АОЕ рангового методу по відношенню до МНК виражається як
,
де? 2 - дисперсія шуму, f (x) - щільність його розподілу, p - число параметрів моделі.
АОЕ рангового методу по відношенню до МНМ має вигляд
.
У таблиці 3.1 наведені результати обчислень АОЕ для різних розподілів шумів регресійній моделі. Інтеграли для розподілів Стьюдента з різними ступенями свободи, розподілу Коші та логістичного розподілу були обчислені чисельно в середовищі Matlab, інші були взяті аналітично.
Таблиця 3.1
ОАЕ рангового методу до МНКОАЕ рангового методу до МНМНормальное распределеніе3 /? ? 0,95491,5Распределеніе Лапласа1,50,75Распределеніе Коші? 0,75Распределеніе Стьюдента з 2 ступенями свободи? 1,0416Распределеніе Стьюдента з 3 ступенями свободи1,89981,1725Распределеніе Стьюдента з 5 ступенями свободи1,24121,3553Распределеніе Стьюдента з 13 ступенями свободи1,02521, 4162Распределеніе Стьюдента з 18 ступенями свободи1,00231,438Распределеніе Стьюдента з 19 ступенями свободи0,99931,4417Треугольное распределеніе8/9? 0,88894/3? 1,3333Логістіческое розподіл? 2/9? 1,09664/3? 1,3333Распределеніе Тьюки з? =0,1,? 12=100,? 22=17,28041,267
З отриманих даних слідують такі висновки:
· Рангове метод поступається МНК в моделях з шумами, що мають розподіл Гауса, Стьюдента з не менш ніж 19 ступенями свободи і трикутний розподіл.
· Рангове метод поступається МНМ в моделях з шумами, що мають розподілу Лапласа і Коші.
Отже, у цьому розділі були розглянуті та наведено результати обчислення АОЕ рангового методу по відношенню до МНК і МНМ. Так само були зроблені висновки про ефективність рангового методу стосовно аналізованим альтернативним йому методам.
3. Побудова моделі на реальних даних
Для побудови лінійної регресійної моделі на основі реальних даних за допомогою рангового методу оцінювання параметрів був обраний досить відомий набір даних іриси Фішера raquo ;. Ці дані були зібрані американським ботаніком Едгаром Андерсоном, вони включають в себе виміряні в міліметрах довжину і ширину чашолистка і пелюстки у 150 примірників квітки ірису - по 50 примірників кожного з трьох видів: ірис щетинистий, ірис віргінський та ірис різнокольоровий.
У цій роботі будується лінійна регресійна модель залежності довжини пелюстки від довжини і ширини чашолистка для виду ірис різнокольоровий. Така модель має 2 регресорів і 50 спостережень, для побудови моделі треба оцінити за допомогою рангового методу 3 параметра: вільний член і коефіцієнти перед двома регресорів.
У результаті запуску алгоритму, що обчислює рангову оцінку параметрів моделі, вийшло, що вільний член дорівнює 0,3141, коефіцієнт перед довжиною чашолистка дорівнює 0,5429, а коефіцієнт перед шириною чашолистка дорівнює 0,3571. На малюнках 4.1 та 4.2 представлені графіки, що зображують побудовану залежність у вигляді площині і реальні спостереження у вигляді кружків. Так само для даної моделі були побудовані МНК- і МНМ-оцінки параметрів. Потім в дані були внесені зміни: в одного випадково обраного спостереження значення залежної змінної було збільшено в 10 разів - як у випадку помилки з порядком. Ранговая оцінка, МНК- і МНМ-оцінки параметрів були перераховані, їх зміну d 2 було виміряно обчисленням суми квадратів різниць відповідних компонент старого і нового векторів для кожної оцінки параметрів. Результати для наочності представлені в таблиці 4.1.
Рис. 4.1. Графік лінійної регресії і розсіювання даних
Рис. 4.2. Графік лінійної регресії і розсіювання даних
Таблиця 4.1
Оцінка: Ранговая оценкаМНК-оценкаМНМ-оценкаМодель: До ізмененійПосле ізмененійДо ізмененійПосле ізмененійДо ізмененійПосле изменений?00,31410,757-1,108921,04070,90230,903?10,54290,58990,5781,52170,55740,5583?20,35710,24460,3394-2,36720,31080,3092d20,211498,82133,7607*10-6
Таким чином, можна зробити висновок, що найкращим чином на викиди в даних реагує МНМ-оцінка, найгіршим - МНК-оцінка. Притому ранговая оцінка показує цілком задовільні результ...
