сякого кола дорівнює потроєному діаметру з надлишком, який менше сьомий частини діаметра, але більше десяти сімдесят першому raquo ;. Інакше кажучи, Архімед вказав кордону числа?:
Евклід lt; п lt; 3
Ряд нерівностей наводить у своєму знаменитому трактаті Почала Евклід. Він, наприклад, доводить, що середнє геометричне двох позитивних чисел не більше їх середнього арифметичного, т. Е. Що вірно нерівність
Архімед?
У Математичному зборах Паппа Олександрійського (III ст.) Доводиться, що якщо
gt;
(a, b, с і d - позитивні числа), то ad gt; bc.
Однак всі ці міркування проводили словесно, спираючись в більшості випадків на геометричну термінологію. Сучасні знаки нерівностей з'явилися лише в XVII- XVIII ст. Знаки lt; і gt; ввів англійський математик Т. Гарриот (1560-1621), знаки? і? французький математик П. Бузі (1698-1758).
Нерівності і системи нерівностей широко використовуються як в теоретичних дослідженнях, так і при вирішенні важливих практичних завдань.
Визначення та основні властивості нерівностей.
Визначення:
нерівність називають вирази виду a lt; b (a? b), a gt; b (a? b), де a і b можуть бути числами або функціями.
Символи lt; (?), gt; (?) називаються знаками нерівності і читаються відповідно: менше (менше або дорівнює), більше (більше або дорівнює).
Властивості числових нерівностей:
· Якщо a gt; b, то b lt; a; якщо a lt; b, то b gt; a.
· Якщо a lt; b і b lt; c, то a lt; c.
· Якщо a lt; b і c-будь-яке число, то a + c lt; b + c.
· Якщо a lt; b і c gt; 0, то ac lt; bc. Якщо a lt; b і c lt; 0, то ac gt; bc.
· Якщо a lt; b і c lt; d, то a + c lt; b + d.
· Якщо a lt; b і c lt; d, де a, b, c, d-позитивні числа, то ac lt; bd.
Нерівність можуть бути лінійними, квадратними, раціональними і дробно раціональними і т.д. Я хочу зупинитися на дрібно-раціональні нерівності та хочу більш детально описати, як вирішуються ці нерівності.
Рішення раціонального нерівності
gt; 0 (5)
де Рn (х) і Qm (х)? многочлени, зводиться до вирішення еквівалентного нерівності (Рn (х) gt; 0) наступним чином: помноживши обидві частини нерівності (5) на многочлен [Qm (x)] 2, який позитивний попри всі допустимих значеннях невідомого х (тобто при тих х, при яких Qm (x)? 0), отримаємо нерівність
Р n (х)? Q m (x) gt; 0,
еквівалентне нерівності (5).
Дробово-лінійним називається нерівність виду
gt; k
де a, b, c, d, k? деякі справжні числа і з? 0, (якщо з=0, то дрібно-лінійне нерівність перетворюється на лінійне, нерівність (6) не містить аргументу). До дрібно-лінійним нерівностям відносяться і нерівності виду (6), де замість знака gt; стоять знаки lt ;,?,?. Рішення дрібно-лінійного нерівності зводиться до вирішення квадратного нерівності. Для цього необхідно помножити обидві частини нерівності (6) на вираз (сх + d) 2, позитивне при всіх х? R і x?-d/c.
3. Алгоритм рішення дробно раціональних нерівностей
При вирішенні таких нерівностей можна дотримуватися такої схеми.
. Перенести всі члени нерівності в ліву частину.
. Всі члени нерівності в лівій частині привести до спільного знаменника, тобто нерівність записати у вигляді
gt; 0 ( lt; 0).
3. Знайти значення х, при яких функція y=може змінювати свій знак. Це коріння рівнянь
. Нанести знайдені точки на числову вісь. Ці точки розбивають безліч дійсних чисел на проміжки, в кожному їх яких функція буде знакопостоянного.
. Визначити знак в кожному проміжку, обчислюючи, наприклад, значення даного відносини в довільній точці кожного проміжку.
. Записати відповідь, звертаючи особливу увагу на граничні точки проміжків. При вирішенні строгої нерівності gt; 0 ( lt; 0) граничні точки у відповідь не включаються. При вирішенні несуворого нерівності? 0 (? 0), якщо точка є коренем знаменника, то вона не включається у відповідь (навіть якщо вона одночасно є коренем чисельника). Якщо ж точка є коренем одного до чисельника, то вона включається у відповідь.
Приклади
Приклад з реальних завданнях ЄДІ.
С4 Знайдіть всі значення параметра а, при яких безліч рішен...
