/>
Диференціали du, dv, dr, dm беруться в цій формулі при одному і тому ж (довільному) нескінченно малому зміщенні з даної точки поверхні.
§4. Обчислення головних кривизн
Знайдемо ставлення першої та другої квадратичних форм
II/I=(Ldu2 + 2Mdudv + Ndv2)/(Edu2 + 2Fdudv + Gdv2)=k0
Отриману величину k0 назвемо нормальної кривизною поверхні в даному напрямку (du: dv)
Напрям (du: dv) на поверхні будемо називати головним, якщо нормальна кривизна поверхні в цьому напрямку досягає екстремального значення.
Нехай на поверхні в даній точці вже обчислені коефіцієнти першої та другої основних квадратичних форм. Потрібно знайти головні кривизни. Ми їх можемо знайти з (необхідного і достатнього) умови теореми Родріга:
У разі нескінченно малого зміщення в головному напрямку (першому чи другому) dm і dr колінеарні і мають місце формули dm=-k1dr або dm=-k2dr (перша або друга).
Назад, якщо для якого-небудь нескінченно малого зміщення з даної точки М по поверхні dm і dr колінеарні, так що можна записати формулу dm=-kdr, де k - деякий чисельний коефіцієнт, то напрямок зсуву - головне, а k одно відповідної головною кривизні k1 або k2.
Скористаємося формулою dm=-kdr з цієї теореми і напишемо замість dr, dm їх розгорнуті вираження
mudu + mvdv=-k (rudu + rvdv).
Це одне векторне рівність можна замінити двома скалярними, а саме, множачи скалярно обидві частини рівності на ru і rv по черзі:
murudu + mvrudv=-k (rurudu + rvrudv), + mvrvdv=-k (rurvdu + rvrvdv).
Двох скалярних рівностей досить тому, що вектори dm і -kdr свідомо лежать в дотичній площині, і для їх рівності не тільки необхідно, але і достатньо, щоб вони давали однакові скалярні добутки з двома неколінеарна векторами в цій площині. В якості таких векторів ми взяли ru, rv.
Отримані рівняння можна переписати, помноживши їх почленно на - 1 і замінивши скалярні добутки коефіцієнтами першої та другої квадратичних форм. Отримаємо
З цих двох рівнянь ми повинні визначити головну кривизну k.
Перенесемо в цих рівняннях всі члени вліво, і перепишемо таким чином:
(L-kE) du + (M-kF) dv=0,
(M-kF) du + (N-kG) dv=0.
Так як для головної кривизни k ця система двох однорідних рівнянь відносно du, dv, сумісна, то визначник цієї системи повинен бути рівний нулю:
L-kE M-kFkF N-kG=0
Ми отримуємо квадратне рівняння щодо k, якій повинні задовольняти головні кривизни k1 і k2 і з якого їх можна визначити. Напишемо це рівняння в розгорнутому вигляді:
(EG-F2) k2 + (2MF-EN-LG) k + (LN-M2)=0.
Неважко було б написати явні вирази для кожної з головних кривизн k1, k2, як для коренів цієї квадратного рівняння. Але ці вирази були б досить громіздкі, і обчислення їх не дало б будь-якої переваги. Зате з рівняння (EG-F2) k2 + (2MF-EN-LG) k + (LN-M2)=0 можна порівняно просто отримати суму і твір головних кривизн. Дійсно, після того як ліва частина рівняння буде поділена на коефіцієнт при k2, т.e. на EG-F2, твір коренів дорівнюватиме вільному члену, а сума коренів - коефіцієнту при k з протилежним знаком. Отже,
Твір головних кривизн в даній точці поверхні називається повною або гауссовой кривизною поверхні в даній точці. Ми будемо позначати повну кривизну через К.
Напівсума головних кривизн в даній точці поверхні називається середньою кривизною поверхні. Її ми будемо позначати через H.
Ці кривизни можуть бути обчислені через коефіцієнти квадратичних форм поверхні. Остаточно попередні формули перепишуть у вигляді:
.
§5. Властивості середньої кривизни
Назва «середня кривизна» виправдовується наступними властивостями.
. Якщо k? і k? +?/2 - нормальні кривизни поверхні в двох взаємно перпендикулярних напрямках, то їх полусумма дорівнює середній кривизні поверхні.
. Середнє значення нормальних кривизн поверхні в даній точці поверхні
? 02? k? d?
одно середньої кривизні поверхні.
Обидва цих властивостей виходять з формули Ейлера для нормальної кривизни в довільному напрямку
k?=k1cos2? + k2sin2?,
де k?- Нормальна кривизна, k1 і k2 - головні кривизни,?- Кут, утворений довільним напрямком з головним.
§6. Класифікація точок поверхні.
Залежно від Н і K точки поверхні класифікуються наступним чином:
Точка називається
· еліптичної, якщо K gt; 0, все точки поверхні S розташовуються по одну сторону від дотичної площини поверхні в точці x 0, (Рис.7, а).
· гіперболічної, якщо K lt; 0, поблизу такої точки x 0 поверхню S розташовується по різні сторони від дотичної пло...
