Теми рефератів
> Реферати > Курсові роботи > Звіти з практики > Курсові проекти > Питання та відповіді > Ессе > Доклади > Учбові матеріали > Контрольні роботи > Методички > Лекції > Твори > Підручники > Статті Контакти
Реферати, твори, дипломи, практика » Курсовые проекты » Середня кривизна поверхні

Реферат Середня кривизна поверхні





/>

Диференціали du, dv, dr, dm беруться в цій формулі при одному і тому ж (довільному) нескінченно малому зміщенні з даної точки поверхні.


§4. Обчислення головних кривизн


Знайдемо ставлення першої та другої квадратичних форм


II/I=(Ldu2 + 2Mdudv + Ndv2)/(Edu2 + 2Fdudv + Gdv2)=k0


Отриману величину k0 назвемо нормальної кривизною поверхні в даному напрямку (du: dv)

Напрям (du: dv) на поверхні будемо називати головним, якщо нормальна кривизна поверхні в цьому напрямку досягає екстремального значення.

Нехай на поверхні в даній точці вже обчислені коефіцієнти першої та другої основних квадратичних форм. Потрібно знайти головні кривизни. Ми їх можемо знайти з (необхідного і достатнього) умови теореми Родріга:

У разі нескінченно малого зміщення в головному напрямку (першому чи другому) dm і dr колінеарні і мають місце формули dm=-k1dr або dm=-k2dr (перша або друга).

Назад, якщо для якого-небудь нескінченно малого зміщення з даної точки М по поверхні dm і dr колінеарні, так що можна записати формулу dm=-kdr, де k - деякий чисельний коефіцієнт, то напрямок зсуву - головне, а k одно відповідної головною кривизні k1 або k2.

Скористаємося формулою dm=-kdr з цієї теореми і напишемо замість dr, dm їх розгорнуті вираження


mudu + mvdv=-k (rudu + rvdv).


Це одне векторне рівність можна замінити двома скалярними, а саме, множачи скалярно обидві частини рівності на ru і rv по черзі:


murudu + mvrudv=-k (rurudu + rvrudv), + mvrvdv=-k (rurvdu + rvrvdv).


Двох скалярних рівностей досить тому, що вектори dm і -kdr свідомо лежать в дотичній площині, і для їх рівності не тільки необхідно, але і достатньо, щоб вони давали однакові скалярні добутки з двома неколінеарна векторами в цій площині. В якості таких векторів ми взяли ru, rv.

Отримані рівняння можна переписати, помноживши їх почленно на - 1 і замінивши скалярні добутки коефіцієнтами першої та другої квадратичних форм. Отримаємо



З цих двох рівнянь ми повинні визначити головну кривизну k.

Перенесемо в цих рівняннях всі члени вліво, і перепишемо таким чином:


(L-kE) du + (M-kF) dv=0,

(M-kF) du + (N-kG) dv=0.


Так як для головної кривизни k ця система двох однорідних рівнянь відносно du, dv, сумісна, то визначник цієї системи повинен бути рівний нулю:


L-kE M-kFkF N-kG=0


Ми отримуємо квадратне рівняння щодо k, якій повинні задовольняти головні кривизни k1 і k2 і з якого їх можна визначити. Напишемо це рівняння в розгорнутому вигляді:


(EG-F2) k2 + (2MF-EN-LG) k + (LN-M2)=0.


Неважко було б написати явні вирази для кожної з головних кривизн k1, k2, як для коренів цієї квадратного рівняння. Але ці вирази були б досить громіздкі, і обчислення їх не дало б будь-якої переваги. Зате з рівняння (EG-F2) k2 + (2MF-EN-LG) k + (LN-M2)=0 можна порівняно просто отримати суму і твір головних кривизн. Дійсно, після того як ліва частина рівняння буде поділена на коефіцієнт при k2, т.e. на EG-F2, твір коренів дорівнюватиме вільному члену, а сума коренів - коефіцієнту при k з протилежним знаком. Отже,



Твір головних кривизн в даній точці поверхні називається повною або гауссовой кривизною поверхні в даній точці. Ми будемо позначати повну кривизну через К.

Напівсума головних кривизн в даній точці поверхні називається середньою кривизною поверхні. Її ми будемо позначати через H.

Ці кривизни можуть бути обчислені через коефіцієнти квадратичних форм поверхні. Остаточно попередні формули перепишуть у вигляді:


.


§5. Властивості середньої кривизни


Назва «середня кривизна» виправдовується наступними властивостями.

. Якщо k? і k? +?/2 - нормальні кривизни поверхні в двох взаємно перпендикулярних напрямках, то їх полусумма дорівнює середній кривизні поверхні.

. Середнє значення нормальних кривизн поверхні в даній точці поверхні


? 02? k? d?


одно середньої кривизні поверхні.

Обидва цих властивостей виходять з формули Ейлера для нормальної кривизни в довільному напрямку


k?=k1cos2? + k2sin2?,


де k?- Нормальна кривизна, k1 і k2 - головні кривизни,?- Кут, утворений довільним напрямком з головним.

§6. Класифікація точок поверхні.


Залежно від Н і K точки поверхні класифікуються наступним чином:

Точка називається

· еліптичної, якщо K gt; 0, все точки поверхні S розташовуються по одну сторону від дотичної площини поверхні в точці x 0, (Рис.7, а).

· гіперболічної, якщо K lt; 0, поблизу такої точки x 0 поверхню S розташовується по різні сторони від дотичної пло...


Назад | сторінка 5 з 10 | Наступна сторінка





Схожі реферати:

  • Реферат на тему: Методика вимірювання шорсткості поверхні сталевих прутків зі спеціальною об ...
  • Реферат на тему: Приведення рівняння кривої і поверхні другого порядку до канонічного вигляд ...
  • Реферат на тему: Розробка двох варіантів технологічних процесів механічної обробки заданої п ...
  • Реферат на тему: Обчислення інтеграла по поверхні
  • Реферат на тему: Вивчення теплових властивостей земної поверхні. Обчислення показника пожеж ...