дуємо в точці М одиничний вектор m, спрямований по нормалі до поверхні (в довільно обрану сторону). Очевидно, що тоді вектор паралельний m, так що можна записати
=lm,
де l - чисельний коефіцієнт, позитивний, якщо ухилення РМ від дотичної площини направлено в сторону m, і негативний - якщо воно спрямоване у зворотний бік. Крім тогo, оскільки m - вектор одиничний, то l по модулю дорівнює якраз ухиленню РМ raquo ;. Ми будемо називати l ухиленням і постараємося його вирахувати. Так як, очевидно,
=+=+ lm,
то рівність =? r=r ? s + 1/2r '(? s) 2 + ... можна переписати у вигляді
+ lm=r ? s + 1/2r '(? s) 2 + ...
Тепер неважко вирахувати l, множачи скалярно обидві частини рівності на m. Так як m перпендикулярний до дотичної площини з лежачими в ній векторами і r '? S, то перші складові в лівій і в правій частинах звернуться в нуль. Крім того, вектор m - одиничний, так що m2=1. У підсумку отримаємо
l=1/2r m (? s) 2 + ...
Ми вирахували ухилення l від дотичної площини при зміщенні з точки дотику М; воно буде нескінченно малим 2-го порядку. Головна частина його виписана, точками ж позначені нескінченно малі більш високого порядку. Займемося головною частиною ухилення l.
Скалярний добуток r m можна представити у двох видах. По-перше, диференціюючи формулу r=r {u (s), v (s)} по s, отримаємо
r =ruu + rvv '.
Диференціюючи по s ще раз, враховуючи, що ru=ru (u (s), v (s)), rv=rv (u (s), v (s)).
Отримаємо
rlaquo;raquo;=ruuulaquo;2+ruvuraquo;vlaquo;+ruuraquo;laquo;+rvuvraquo;ulaquo;+rvvvraquo;2+rvvlaquo;raquo;
Через ruu, ruv=rvu, rvv позначені другі частинні похідні.
Множачи попередню формулу скалярно на m і враховуючи, що ru, rv лежать в дотичній площині і, отже, перпендикулярні до m, отримаємо
r m=ruum 2 + 2ruvmu v + rvvmv 2.
Введемо позначення
Значення L, М, N залежать від вибору точки (u, v) на поверхні, дотична площину в якій зараз розглядається. Оскільки напрям m може бути змінено на протилежне, то L, M, N є не цілком визначеними в тому сенсі, що знаки у них можна змінити?? ь одночасно на зворотні. Зазвичай ми будемо припускати, що вектор m обраний в кожній точці поверхні за формулою
Дійсно, вектор в чисельнику спрямований по нормалі до поверхні, а так як в знаменнику стоїть його модуль, то виходить одиничний вектор по нормалі. При цьому виборі криволінійних координат u, v вектор m, а отже, і L, М, N будуть цілком певними функціями від u, v.
Вставляючи вираз для m в мформули ruum=L (u, v), ruvm=M (u, v), rvvm=N (u, v), ми отримаємо вирази для L, М, N у вигляді
У чисельнику тут стоять змішані твори відповідних векторів.
Переписуючи тепер r m=ruum 2 + 2ruvmu v + rvvmv 2 у скорочених позначеннях
r m=(Lu) 2 + 2Mu v + (Nv) 2
і множачи обидві частини на 1/2 (? s) 2, отримаємо
1/2r m (? s) 2=1/2 (Ldu2 + 2Mdudv + Ndv2),
так як
u ? s=du, v ? s=dv.
Тепер формулу l=1/2r m (? s) 2 + ... можна переписати у вигляді
l=1/2 (Ldu2 + 2Mdudv + Ndv2) + ...
Таким чином, головна частина ухилення від дотичної площини при зміщенні по поверхні з точки дотику М в нескінченно близьку точку М 'виражається половиною квадратичної форми
Ldu2 + 2Mdudv + Ndv2
Ця форма називається другий основний квадратичною формою на поверхні. Як і перша, вона є квадратичною формою по відношенню до диференціалом координат, відповідальним зміщення з М в М ', причому коефіцієнти її суть функції координат u, v точки М.
Коефіцієнти другого квадратичної форми можна виразити і трохи інакше. Скористаємося тим, що вектор m, спрямований по нормалі до поверхні, ортогонален до дотичних векторах ru, rv і утворює з ними скалярні твори, завжди рівні нулю:
mru=0, mrv=0.
Диференціюючи кожне з цих тотожностей по кожному з аргументів u і v почергово:
muru + mruu=0, murv + mrvu=0,
mvru + mruv=0, mvrv + mrvv=0.
Порівнюючи з формулами ruum=L (u, v), ruvm=M (u, v), rvvm=N (u, v), одержуємо
Далі отримуємо, що
=rudu + rvdv
і аналогічно
dm=mudu + mvdv.
Перемножуючи скалярно dr на dm, отримаємо
drdm=rumudu2 + (rumv + rvmu) dudv + rvmvdv2.
Користуючись вище перерахованими формулами, можемо переписати це рівність у вигляді:
drdm=-Ldu2-2Mdudv-Ndv2.
Звідси отримуємо таку коротку запис другий основний квадратичної форми:
du2 + 2Mdudv + Ndv2=-drdm.
