Теми рефератів
> Реферати > Курсові роботи > Звіти з практики > Курсові проекти > Питання та відповіді > Ессе > Доклади > Учбові матеріали > Контрольні роботи > Методички > Лекції > Твори > Підручники > Статті Контакти
Реферати, твори, дипломи, практика » Учебные пособия » Дослідження функцій і побудова їх графіків

Реферат Дослідження функцій і побудова їх графіків





Значення функції в точці називається максимумом (мінімумом). Максимум і мінімум функції об'єднуються загальною назвою екстремум функції.

Для того, щоб функція мала екстремум в точці необхідно, щоб її похідна в цій точці дорівнювала нулю () або не існувало.

Точки, в яких похідна функції дорівнює нулю, називаються стаціонарними точками функції. У стаціонарній точці не обов'язково повинен бути екстремум функції. Для знаходження екстремумів потрібно додатково досліджувати стаціонарні точки функції, наприклад, шляхом використання достатніх умов екстремуму. p> Перше з них полягає в тому, що якщо при переході через стаціонарну точку зліва направо похідна диференціюється змінює знак з плюса на мінус, то в точці досягається локальний максимум. Якщо знак змінюється з мінуса на плюс, то це точка мінімуму функції.

Якщо ж зміна знака похідної при переході через досліджувану точку не відбувається, то в даній точці екстремуму немає.

Друге достатня умова екстремуму функції в стаціонарній точці використовує другу похідну функції: якщо <0, то є точкою максимуму, а якщо> 0, то - точка мінімуму. При = 0 питання про тип екстремуму залишається відкритим.

Функція називається опуклою (увігнутою) на безлічі, якщо для будь-яких двох значень виконується нерівність:


. br/>В В В 
В 
В 

Якщо друга похідна двічі диференціюється позитивна (негативна) всередині безлічі, то функція увігнута (опукла) на . p> Точкою перегину графіка неперервної функції називається точка, що розділяють інтервали, в яких функція опукла і увігнута.

Друга похідна двічі диференціюється в точці перегину дорівнює нулю, тобто = 0.

Якщо друга похідна при переході через деяку точку змінює свій знак, то є точка перегину її графіка. p> При дослідженні функції і побудові її графіка рекомендується використовувати наступну схему:

Знайти область визначення функції.

Дослідити функції на парність - непарність (якщо функція парна або непарна, то графік досить досліджувати тільки для позитивних значень, а для <0 графік симетричний відносно осі у разі парності функції і симетричний відносно початку координат - для непарної функції).

Знайти вертикальні асимптоти.

Дослідити поведінку функції в нескінченності, знайти горизонтальні та похилі асимптоти.

Знайти інтервали зростання та спадання функції і точки екстремуму. p> Знайти інтервали опуклості і угнутості функції і точки перегину.

Знайти точки перетину функції з осями координат.


Приклад 6. Дослідити функцію


В 

і побудувати її графік.

Рішення. 1.Функция представляє многочлен 3-го ступеня, тому вона визначена і неперервна для всіх.

2. Знайдемо значення функції при (-):


В 

а також.

Таким чином, досліджувана функція є функцією загального вигляду і її потрібно досліджувати на всій числовій осі.

Функція неперервна на всій числовій осі, точок розриву другого роду не має, отже, у неї вертикальні асимптоти відсутні.

Розглянемо поведінку функції в нескінченності.

Знайдемо межі:


;

В 

Так як межі не є кінцевими, то горизонтальних асимптот у функції немає.

Далі перевіримо наявність у функції похилих асимптот. Обчислимо межа:


.


Оскільки межа не є кінцевими, то похилі асимптоти також відсутні. Якщо б межа був кінцевим і дорівнював k, то було потрібно знайти інший межа


.


У разі коли він також конечен (дорівнює числу b), встановлюється наявність похилій асимптоти з рівнянням. p> Для визначення інтервалів монотонності функції знайдемо її похідну:


.


Похідна також визначена і неперервна на всій числовій осі. Звідси критичними точками можуть бути тільки ті, де похідна дорівнює нулю.

Для знаходження стаціонарних точок функції прирівнюємо похідну нулю:


В 

і вирішуємо квадратне рівняння:


== 4,

,

В 

Тепер можна записати:


= 0.


У підсумку функція має дві стаціонарні точки.

Використовуючи метод інтервалів, знайдемо інтервали знакопостоянства похідної функції.

В 

+ +


1 _ 5/3


При <1 і> 5/3 похідна> 0, тобто інтервали і є інтервалами зростання функції.

При 1 <<5/3 маємо <0 і інтервалом убування є.

Оскільки при <1 знак> 0, а при> 1 <0, то стаціонарна точка = 1 є точкою максимуму функції. p> В іншій стаціонарної точці = маємо <0 зліва від неї і> 0 праворуч. Отже, в точці = функція має локальний мінімум. p> Для знаходження інтервалів опуклості обчислимо другу похідну функції:


.

Друга похідна також визначена на всій числовій осі і точки, де вона не існує, відсутні.

Прирівнюючи другу похідну до нуля:


= 0,


знах...


Назад | сторінка 5 з 9 | Наступна сторінка





Схожі реферати:

  • Реферат на тему: Функції, склад, особливості та види грошей і сутність, функції та роль банк ...
  • Реферат на тему: Дослідження функції. Обчислення похідних функції
  • Реферат на тему: Знайти мінімум функції n змінних методом Гольдфарба
  • Реферат на тему: Дослідження функції зовнішнього дихання. Дослідження секреторної функції ш ...
  • Реферат на тему: Рішення задачі знаходження мінімуму цільової функції