Значення функції в точці називається максимумом (мінімумом). Максимум і мінімум функції об'єднуються загальною назвою екстремум функції.
Для того, щоб функція мала екстремум в точці необхідно, щоб її похідна в цій точці дорівнювала нулю () або не існувало.
Точки, в яких похідна функції дорівнює нулю, називаються стаціонарними точками функції. У стаціонарній точці не обов'язково повинен бути екстремум функції. Для знаходження екстремумів потрібно додатково досліджувати стаціонарні точки функції, наприклад, шляхом використання достатніх умов екстремуму. p> Перше з них полягає в тому, що якщо при переході через стаціонарну точку зліва направо похідна диференціюється змінює знак з плюса на мінус, то в точці досягається локальний максимум. Якщо знак змінюється з мінуса на плюс, то це точка мінімуму функції.
Якщо ж зміна знака похідної при переході через досліджувану точку не відбувається, то в даній точці екстремуму немає.
Друге достатня умова екстремуму функції в стаціонарній точці використовує другу похідну функції: якщо <0, то є точкою максимуму, а якщо> 0, то - точка мінімуму. При = 0 питання про тип екстремуму залишається відкритим.
Функція називається опуклою (увігнутою) на безлічі, якщо для будь-яких двох значень виконується нерівність:
. br/>В В В
В
В
Якщо друга похідна двічі диференціюється позитивна (негативна) всередині безлічі, то функція увігнута (опукла) на . p> Точкою перегину графіка неперервної функції називається точка, що розділяють інтервали, в яких функція опукла і увігнута.
Друга похідна двічі диференціюється в точці перегину дорівнює нулю, тобто = 0.
Якщо друга похідна при переході через деяку точку змінює свій знак, то є точка перегину її графіка. p> При дослідженні функції і побудові її графіка рекомендується використовувати наступну схему:
Знайти область визначення функції.
Дослідити функції на парність - непарність (якщо функція парна або непарна, то графік досить досліджувати тільки для позитивних значень, а для <0 графік симетричний відносно осі у разі парності функції і симетричний відносно початку координат - для непарної функції).
Знайти вертикальні асимптоти.
Дослідити поведінку функції в нескінченності, знайти горизонтальні та похилі асимптоти.
Знайти інтервали зростання та спадання функції і точки екстремуму. p> Знайти інтервали опуклості і угнутості функції і точки перегину.
Знайти точки перетину функції з осями координат.
Приклад 6. Дослідити функцію
В
і побудувати її графік.
Рішення. 1.Функция представляє многочлен 3-го ступеня, тому вона визначена і неперервна для всіх.
2. Знайдемо значення функції при (-):
В
а також.
Таким чином, досліджувана функція є функцією загального вигляду і її потрібно досліджувати на всій числовій осі.
Функція неперервна на всій числовій осі, точок розриву другого роду не має, отже, у неї вертикальні асимптоти відсутні.
Розглянемо поведінку функції в нескінченності.
Знайдемо межі:
;
В
Так як межі не є кінцевими, то горизонтальних асимптот у функції немає.
Далі перевіримо наявність у функції похилих асимптот. Обчислимо межа:
.
Оскільки межа не є кінцевими, то похилі асимптоти також відсутні. Якщо б межа був кінцевим і дорівнював k, то було потрібно знайти інший межа
.
У разі коли він також конечен (дорівнює числу b), встановлюється наявність похилій асимптоти з рівнянням. p> Для визначення інтервалів монотонності функції знайдемо її похідну:
.
Похідна також визначена і неперервна на всій числовій осі. Звідси критичними точками можуть бути тільки ті, де похідна дорівнює нулю.
Для знаходження стаціонарних точок функції прирівнюємо похідну нулю:
В
і вирішуємо квадратне рівняння:
== 4,
,
В
Тепер можна записати:
= 0.
У підсумку функція має дві стаціонарні точки.
Використовуючи метод інтервалів, знайдемо інтервали знакопостоянства похідної функції.
В
+ +
1 _ 5/3
При <1 і> 5/3 похідна> 0, тобто інтервали і є інтервалами зростання функції.
При 1 <<5/3 маємо <0 і інтервалом убування є.
Оскільки при <1 знак> 0, а при> 1 <0, то стаціонарна точка = 1 є точкою максимуму функції. p> В іншій стаціонарної точці = маємо <0 зліва від неї і> 0 праворуч. Отже, в точці = функція має локальний мінімум. p> Для знаходження інтервалів опуклості обчислимо другу похідну функції:
.
Друга похідна також визначена на всій числовій осі і точки, де вона не існує, відсутні.
Прирівнюючи другу похідну до нуля:
= 0,
знах...
