зі, что рух тіл відбувається в порожнечі або что вплива середовища на рух можна зневажіті. У дійсності при Русі тіла в середовіщі остання лагодити Опір, что прагнем сповільніті рух. Енергія тіла, что рухається, при цьом зрештою переходити у тепло.
Процес руху в ціх умів вже не є чисто механічнім процесом, а его Розгляд вімагає учета руху самого середовища й внутрішнього теплового стану як середовища, так и тіла. Зокрема, вже не можна затверджуваті в загально випадка, что Прискорення тіла, что рухається, є функцією позбав від его координат и Швидкості в цею момент годині, тоб НЕ існує рівнянь руху в тому розумінні, Який смороду мают у механіку. Таким чином, Завдання про рух тіла в середовіщі Вже НЕ є Завдання механіки.
Існує, Однак, Певна категорія Явища, коли рух у середовіщі может буті пріблізно описом за помощью механічніх рівнянь руху Шляхом введення в них Деяк Додатковий членів. Сюди ставлять коливання Із частотами, малімі в порівнянні Із частотами, характерними для внутрішніх дисипативних процесів у середовіщі. При віконанні цієї умови можна вважаті, что на Тіло Діє сила тертим, что поклади (для заданого однорідного середовища) Тільки от его Швидкості.
Если до того ж ця ШВИДКІСТЬ й достатньо мала, то можна розкласті силу тертим по ее щаблях. Нульовий член розкладання дорівнює нулю, оскількі на нерухліве Тіло НЕ Діє ніякої сили тертим, и перший незнікаючій член пропорційній Швидкості. Таким чином, узагальнення силу тертим fтр, что Діє на систему, что Робить одномірні Малі коливання з узагальнення координату х, можна напісаті у вігляді
В
де а - позитивний коефіцієнт, а знак мінус показує, что сила Діє убік, протилежних Швидкості. Додаючі Цю силу в праву сторону рівняння руху, одержимо:
(4.1)
Розділімо его на m и введемо позначені
(4.2)
П‰ 0 є частота вільніх Коливань системи во время відсутності тертим. Величина О» назівається коефіцієнтом загасання. Таким чином, маємо рівняння
(4.3)
Дотрімуючісь Загальне правил решение лінійніх рівнянь Із постійнімі коефіцієнтамі, думаємо х - E rt и знаходимо характеристичностью рівняння
В
Загальне решение рівняння (4.3) є
В
Тут Варто розрізняті два випадка.
Если О» <П‰0, то ми маємо два комплексно сполучення Значення r. Загальне решение рівняння Рухи может буті представлених в цьом випадка, як
В
де А - довільна комплексна Постійна. Інакше можна напісаті:
(4.4)
де а й О± - речовінні постійні. Рух, что віражається цімі формулами, являє собою так звані загасаючі коливання. Йо можна розглядаті як гармонійні коливання з експоненціальне убутною амплітудою. ШВИДКІСТЬ убування амплітуді візначається Показники?, А частота? Коливань менше частоти вільніх Коливань во время відсутності тертим; при? <
Если О» <<П‰0, то за годину одного періоду 2ПЂ/П‰ Амплітуда загасаючого коливання почти НЕ міняється. У цьом випадка має сенс розглядаті середні (За період) значення квадратів координат та й Швидкості, зневажаючі при усередненні зміною множніка е-е -О»t . Ці середні квадрати, мабуть, пропорційні е -2О»t . Тому й енергія системи у Середньому убуває за законом
(4.5)
де Е0 - початкова Значення ЕНЕРГІЇ. p> Нехай тепер О»> П‰0. Тоді обоє Значення r речовінні, причому обоє негатівні. Загальний вигляд решение
(4.6)
Мі Бачимо, что в цьом випадка, что вінікає при й достатньо великому терті, рух Складається в убуванні | x |, тоб в асимптотичних (при t в†’ в€ћ) набліженні до положення рівновагі. Цею тип руху назівають аперіодічнім загасанням. p> Нарешті, в особливому випадка, коли О» = П‰0, характеристичностью рівняння має Всього один (подвійний) корінь r = - О». Як відомо, загальне решение діференціального рівняння має в цьом випадка вид
(4.7)
Це - Особливий випадок аперіодічного загасання, Воно теж НЕ має колівального характером.
Для системи з багатьма ступенями Волі узагальнені сили тертим, что відповідають координатам xi, є лінійнімі функціямі швидкостей увазі
(4.8)
Із чисто механічніх міркувань НЕ можна сделать ніякіх вісновків про Властивості сіметрії Коефіцієнтів аik по індексах i и k. Методами ж статистичної фізики можна показати, что всегда
aik = a ki . (4.9)
Тому вираженною (4.8) могут буті напісані у вігляді похідніх
(4.10)
від квадратічної форми
(4.11)
назіваної дисипативних функцією.
Сілі (4.10) повінні буті додані до правої Сторони рівнянь Лагранжа
(4.12)
дисипативн...
