няння (3,7), можна найти відповідні Значення Коефіцієнтів Аk. Если у всех кореньі П‰ а характеристичностью рівняння Різні, ті, як відомо, КОЕФІЦІЄНТИ Ak пропорційні мінорам Визначник (3,8), у якому П‰ замінена відповіднім значень П‰ а , позначімо ці мінорі через О”ka. Частное решение системи діференціальніх рівнянь (3,5) має, отже, вид
В
де З а - довільна (комплексна) Постійна. p> Загальне ж решение дається сумою всех s часток РІШЕНЬ. Переходячі до речовінної частині, напішемо его у вігляді
(3,9)
Де ми ввели позначені
(3,10)
Таким чином, зміна кожної з координат системи Згідно являє собою накладення s простих періодичних Коливань з довільнімі амплітудамі ї фазами, Які мают Цілком певні частоти.
Природно вінікає питання, чи не можна вібрато узагальнені координати таким чином, щоб Кожна з них робіла Тільки Одне просте коливання? Сама форма загально інтеграла (3,9) указує шлях до решение цього Завдання.
Справді, розглядаючі s СПІВВІДНОШЕНЬ (3,9) як систему рівнянь Із s невідомімі величинами О? а , ми можемо, дозволили Цю систему, віразіті Величини О?1, О?2, ..., О?s через координати x1, x2, ..., x s . Отже, Величини О? а можна розглядаті як Нові узагальнені координати. Ці координат та назівають нормальними (або головний), а чінені ними Прості періодичні коливання - нормальними коливання системи.
Нормальні координат та О? а задовольняють, як це віявляється з їхнього визначення, рівнянням
(3,11)
Це значити, что в нормальних координатах рівняння Рухи розпадаються на s незалежних один від одного рівнянь. Прискорення кожної нормальної координати покладів Тільки от Значення цієї ж координати, и для полного визначення ее тімчасової залежності треба знаті Початкові Значення Тільки ее ж самої ї відповідної їй Швидкості. Інакше Кажучи, нормальні коливання системи Повністю незалежні. p> Зі сказаного очевидно, что функція Лагранжа, віражів через нормальні координати, розпадається на суму вираженною, шкірні з якіх відповідає одномірному коливання з однієї Із частот П‰ а , тоб має вигляд
(3,12)
де та - Позитивні постійні. З математичної точки зору це означає, что перетворенням (3,9) обідві квадратічні формі - кінетічна енергія (3,3) i потенційна (3,2) - одночасно приводяться до діагонального виду.
звичайна нормальні координати вібірають таким чином, щоб КОЕФІЦІЄНТИ при квадратах швидкостей у Функції Лагранжа були Рівні 1/2. Для цього й достатньо візначіті нормальні координати (позначімо їх тепер Q a ) рівностямі
(3.13)
Тоді
В
Всі викладеня мало міняється у випадка, коли среди корінь характеристичностью рівняння є кратні коріння. Загальний вигляд (3,9), (3,10) інтегралі рівнянь рухів залішається таким же (з тім же числом s членів) з тією позбав різніцею, что відповіднім кратних частотам КОЕФІЦІЄНТИ О”k а Вже НЕ є мінорамі Визначник, Які, як відомо, звертають в цьом випадка в нуль.
Кожної кратної частоті відповідає стількі різніх нормальних координат, яка ступінь кратності, альо вибір ціх нормальних координат не однозначні. Оскількі в кінетічну ї потенційну ЕНЕРГІЇ нормальні координати (з однаковим П‰ а) входять у вігляді однаково, что перетворяться сум, можна піддаті будь-якому лінійному перетворенню, что залішає інваріантної суму квадратів.
Досить просте знаходження нормальних координат для трівімірніх Коливань однієї матеріальної крапки, что перебуває в постійному зовнішнім полі. Поміщаючі качан декартової системи координат у Крапка мінімуму потенційної ЕНЕРГІЇ U (x, y, z), ми одержимо залишусь у вігляді квадратічної форми змінніх х, у, z, а кінетічна енергія
В
(т - Маса часток) НЕ поклади від Вибори Напрямки координатних осей.
Тому відповіднім поворотом осей треба Тільки призвести до діагонального вигляду потенційну Енергію. Тоді
(3,14)
и коливання уздовж осей х, у, z є Головними Із частотами
В
У окремому випадка центральносіметрічного поля (k1 = k2 = k3 = k, U = kr ВІ/2) ці три частоти збігаються.
Використання нормальних координат Дає можлівість привести Завдання про змушені коливання системи з декількома ступенями Волі до Завдання про одномірні змушені коливання. Функція Лагранжа системи з обліком діючіх на неї змінніх зовнішніх сил має вигляд
(3,15)
де L0 - лагранжева функція вільніх Коливань. Уводячи вместо координат хk нормальні координат, одержимо:
(3.16)
де Уведені позначені
В
Відповідно рівняння руху
В
будут містіті позбав по одній невідомій Функції Qa (t).
Загасаючі коливання
Дотепер мі всегда Малі на ува...
