их функція має сама по Собі ВАЖЛИВО фізичний Зміст - нею візначається інтенсівність дісіпації ЕНЕРГІЇ в Системі. У цьом легко переконатіся, Обчислено похідну за годиною від механічної ЕНЕРГІЇ системи. Маємо:
В
Оскількі F-квадратична функція швидкостей, то в силу теореми Ейлера про Однорідні Функції сума в правій стороні рівності дорівнює 2F. Таким чином,
(4.13)
т е. ШВИДКІСТЬ Зміни ЕНЕРГІЇ системи дається подвоєної дісіпатівної функцією. Тому що дісіпатівні Процеси призводять до Зменшення ЕНЕРГІЇ, то повинності буті всегда F> 0, тоб квадратична форма (4.11) істотно позитивна.
Рівняння малих Коливань при наявності тертим Прокуратура: додаванням сил (4.8) у праву сторону рівнянь (3.5):
(4.14)
поклал в ціх рівняннях
В
x k = A k e rt ,
одержимо по скороченні на e rt систему лінійніх алгебраїчніх рівнянь для постійніх Ak
(4.15)
Дорівнявші нулю Визначник цієї системи, Знайдемо характеристичностью рівняння, что візначає Значення r:
(4.16)
Це - Рівняння ступенів 2s відносно r. Оскількі ВСІ йо КОЕФІЦІЄНТИ речовінні, ті его коріння або речовінні, або попарно комплексно сполучені. При цьом речовінні коріння неодмінно негатівні, а комплексні мают Негативним Речовини Частину. У противному випадка координат та й Швидкості, о з ними й енергія системи експоненціальне Зростай б Згідно, тім годиною як наявність дисипативних сил повинною приводити до Зменшення ЕНЕРГІЇ.
Змушені коливання при наявності тертим
Дослідження змушеніх Коливань при наявності тертим Цілком аналогічно Зроблений у п. 1.2 змушені коливання. Мі Зупинимо тут докладно на випадка, что представляет самостійній Інтерес, періодічної сили, что змушує.
Дода в правій стороні рівняння (4.1) зовнішню силу f cos yt и розділівші на т, одержимо рівняння руху у вігляді
(5.1)
Рішення цього рівняння ЗРУЧНИЙ знаходіті в Комплексній ФОРМІ, для чого пишемо в правій частіні e iОіt вместо cos yt:
В
Приватний інтеграл шукаємо у вігляді x = B e iОіt и знаходимо для В:
(5.2)
представить В у віді be iОґ , маємо для b и Оґ:
(5.3)
Нарешті, відокремівші Речовини Частину від вираженості Be iОіt = be i (Оіt + Оґ) , одержимо приватний інтеграл рівняння (5.1), а Дода до нього загальне решение рівняння без правої Частини (Яке ми напішемо для візначеності для випадка П‰0>?), одержимо остаточно:
х = ае -О»t cos (П‰t + a) + b cos (Оіt + Оґ). (5.4)
Перший доданок експоненціальне убуває Згідно, так что через й достатньо великий проміжок годині залішається Тільки другий член:
В
x = b cos (Оіt + Оґ). (5.5)
вираженною (5.3) для амплітуді b змушеного коливання хочай ї зростає при набліженні частоти Оі до П‰ 0 , альо НЕ звертається в нескінченність, Як це було при резонансі во время відсутності тертим. При заданій амплітуді сили f Амплітуда коливання максимальна при частоті
В
при О» <<<П‰ 0 це Значення відрізняється від П‰ 0 позбав на величину іншого порядку малості.
Розглянемо область Поблизу резонансу. Покладемо Оі = П‰ 0 + Оµ, де Оµ - мала величина; будемо такоже Уважати, что О» <<П‰ 0 . Тоді в (5.2) можна пріблізно замініті:
В
так что
(5.6)
або
(5.7)
Відзначімо Характерними рису ходу Зміни різніці фаз Оґ между коливання и силою, что змушує, при зміні частоти Останньоі. Ця різніця всегда негативна, тоб коливання В«запізнюєтьсяВ» Щодо зовнішньої сили. Удаліні від резонансу, з боці Оі <П‰ 0 , Оґ прагнем до нуля, а з боці Оі> П‰0 - до значення - ПЂ. Зміна Оґ від нуля до - ПЂ відбувається у вузькій (шириною ~ О») области частот, близьким до П‰0; через значення -О /2 різніця фаз проходити при Оі = П‰0. Відзначімо в цьом зв'язку, что во время відсутності тертим зміна фази змушеного коливання на величину? відбувається Стрибки при? =? 0 (другий член в (2.4) міняє знак); облік тертим В«розмазуєВ» цею Стрибок.
При усталеному Русі, коли система Робить змушені коливання (5.5), ее енергія залішається незмінної. У тієї ж годину система безупинності поглінає (від джерела зовнішньої сили) Енергію, что дісіпарується Завдяк наявності тертим. Позначімо за помощью I (Оі) Кількість ЕНЕРГІЇ, что поглінається у Середньому в одиницю годині, як функцію частоти зовнішньої сили. Згідно (4.13) маємо: I (О“) = 2F ,
де F - середнє (по періоду коливання) значення дісіпатівної Функції. Для одномірного руху вираженною (4.11) дісіпатівної Функції зводіться до
