ї, що характеризують нелінійні властивості підсилювачів. p> Будемо вважати, що частоти автономних генераторів близькі один до одного, тоді рішення рівняння (5) можна шукати у вигляді:
x i = А i cos (П‰t + П† i ), = - А i П‰sin ( П‰t + П† i ), (6)
де П‰ = (1/N) .
Для амплітуд і фаз отримуємо наступні рівняння:
(7)
В
(8)
де A i 0 - амплітуда коливань i-го генератора в відсутності зв'язку, О¦ ij = П† i - П† j , (9)
О” i = П‰ i - П‰, (10)
m ij = [(ОІ ij (1) П‰ 2 - О’ ij (3) ) 2 + ОІ ij (2) 2 ] 1/2 , (11)
(12)
Розглянемо випадок слабкої зв'язку між генераторами, коли в рівняннях для фаз (8) можна покласти A i = A i 0 . У синхронному режимі, коли, отримаємо таку систему рівнянь для визначення стаціонарних різниць фаз:
(13)
де i = 1,2, ..., N - 1, О” i, i +1 = П‰ i - П‰ i +1 = О” i - О” i +1.
Система рівнянь (13) аналітично може бути вирішена лише для окремого випадку повністю ідентичних генераторів, коли A i 0 = A 0 , m ij = m, П‡ < sub> ij = П‡, П‰ i = П‰ для всіх i і j. У цьому випадку рівняння (13) приймуть вигляд:
(i = 1, ..., N - 1). (15)
Рівняння (15) має два приватних розв'язку:
О¦ ij = 0, (16)
О¦ i j = В± (j - i) (17)
Частота синхронних коливань у разі синфазного режиму роботи генераторів дорівнює П‰ з = П‰ + (N - 1) mcosП‡, а в другому випадку П‰ з = П‰ - mcosП‡ [3].
8. 2. Приклад: цепочка лазерів
Синхронізація в ланцюжку лазерів часто використовується для отримання випромінювання великої інтенсивності. Цього можна досягти, розташувавши лазери в лінію, так, що кожен взаємодіє з найближчими сусідами або зі усіма іншими лазерами. Домогтися взаємодії кожного лазера з іншими можна за допомогою спеціального просторового фільтра. При такій конфігурації кожен лазер взаємодіє з іншими, але сила зв'язку залежить від відстані між лазерами. Результати, представлені на малюнку 4, чітко вказують на синхронізацію. Дійсно, якби лазери були не синхронізовано, то випромінювання в дальній зоні являло б собою суму некогерентних коливань, і тому було б просторово однорідним. Неоднорідність розподілу на малюнку 4 з'являється через захоплення фаз, це типова інтерференційна картина.
Рис. 4. Інтенсивність випромінювання в далекій зоні при слабкій зв'язку лазерів.
9. Освіта кластерів
9. 1. Кластери в дискретної ланцюжку осциляторів
Якщо в дискретної ланцюжку осциллятори взаємодіють дуже слабо, то синхронізації не буде, і кожна система буде коливатися зі своєю частотою. При досить сильного зв'язку буде спостерігатися синхронізація всій ланцюжка. У проміжному випадку можна очікувати появу частково синхронізованих режимів, з кількома різними частотами. Оскільки зв'язок прагне синхронізувати найближчих сусідів, утворюються кластери синхронізованих осциляторів [1].
Рис. 5. Залежність спостережуваних частот О© k від параметра зв'язку Оµ в ланцюжку з п'яти осциляторів. Власні частоти рівні -1.8, -1.1, 0.1, 0.9, 1.9, функція зв'язку обрана у вигляді q (x) = sinx. Із збільшенням зв'язку спочатку осциллятори 1 і 2 утворюють кластер при Оµ ≈ 0.4. Потім при Оµ ≈ 0.6 з'являється кластер з осциляторів 4 і 5. При Оµ ≈ 1.4 до нього приєднується осцилятор 3. Нарешті, при Оµ ≈ 3 всі осциллятори синхронізуються.
В
9. 1. Кластери в безперервній коливальної середовищі
Освіта кластерів в безперервній коливальної середовищі є результатом двох протилежних факторів: неоднорідності розподілу власних частот і зв'язку, яка намагається зрівняти стану систем. Така зв'язок часто виникає внаслідок дифузії, і тому називається дифузійної. Розглянемо, що відбувається на кордоні двох кластерів, що мають різні частоти. Тут важливо розрізняти злучав дискретної ланцюжки і безперервного середовища. p> У дискретній ланцюжку межа між двома кластерами є межа між двома осциляторами, що мають різні частоти. Це просто означає, що вони не захоплені: кожен коливається зі своєю частотою. На відміну від цього, якщо в суцільному середовищі два осцилятора у двох просторових точках мають різні частоти, то між ними повинен бути безперервний перехід. На перший погляд, можна просто провести безперервний профіль частот, що з'...
