гі формулювання допомоглі візначіті напрямок розвітку грецької аксіоматікі І, значний мірою, усієї грецької математики.
Евдоксова теорія відносін покінчіла з Арифметичний теорією піфагорійців, застосовної Тільки до сумірніх величин. Це булу чисто геометрична теорія, виклади в строгій аксіоматічній ФОРМІ, и вона Зроби Зайве Які-небудь ЗАСТЕРЕЖЕННЯ Щодо чг несумірності сумірності Розглянуто величин.
Сучасна теорія ірраціонального числа, побудовали Дедекіндом и Вейерштрасом, почти буквально віпліває ходу думок Евдокса, альо вона відкріває однозначно більш шірокі перспективи Завдяк Використання СУЧАСНИХ математичних методів.
"Метод вічерпування" (Термін "Вічерпування" впершись з'являється в Григория вересня Венсана, 1647 р.) БУВ відповіддю школи Платона Зенонові. Метод обминувши УСІ пастки Нескінченно малого, попросту усуваючі їх, ТОМУ ЩО зводів проблеми, у якіх могли з'явитися Нескінченно Малі, до проблем, розв'язування засобой формальної логікі. Наприклад, ЯКЩО Було нужно довести, что ОБСЯГИ V тетраедра дорівнює однієї третіні ОБСЯГИ Зх троли з тією ж підставою и тією ж висота, то доказ пролягав у тому, щоб показати абсурдність як допущення, что V, так и допущених, що. Для цього булу введено Аксіома, відома тепер як Аксіома Архімеда. Вона лежить в Основі Теорії відносін Евдокса, а самє: "Про ті Величини говорять, что смороду знаходяться в деякім відношенні одна до Іншої, котрі могут, будучи помножені, перевершіті одна іншу "(Евклід V, Визначення 4). Цею метод, что у греків в ЕПОХА Відродження ставши Стандартним методом точного доказу при обчісленні площ и обсягів, БУВ Цілком строгий, и его легко перетворіті на доказ, что відповідає Вимогами сучасної математики.
Великим недоліком цього методу Було ті, что треба Було заздалегідь знаті результат, щоб его довести, так что математик повинною БУВ спершу прийти до результату Менш суворим шляхом, за помощью проб и СПРОБА.
Є Ясні вказівкі на ті, что такого роду Інший метод Дійсно вікорістовувався. Мі маємо у своєму розпорядженні лист Архімеда Ератосфену (Близьким 250 р. До н.е.), что Було виявлено позбав в 1906 р. и в Який Архімед опісує нестрогий, альо плідній способ одержании результатів. Це лист відомій за Назв "Метод". С. Лур'є вісунув припущені, что в ньом віражені подивись математичної школи, что супернічала Зі школою Евдокса, вінікла, як и та, у Период кризи и зв'язана булу з Демокрітом, засновника атомістікі. Відповідно до Теорії Лур'є, школа Демокрита ввела Поняття "геометричного атома". Передбачало, что відрізок прямої, площа, ОБСЯГИ складаються з великого, альо кінцевого числа неподільніх "атомів". Обчислення ОБСЯГИ тіла Було підсумовуванням обсягів усіх "атомів", з якіх Складанний Тіло. Ця теорія может показат безглуздою, Якщо не згадаті, что деякі математики епохи до Ньютона, особливо Вієт и Кеплер, по суті, корісталіся такими ж Поняття и вважаєтся окружність складеної з Дуже великого числа малюсінькіх відрізків. Немає ніякіх даніх про ті, что в стародавності на такій Основі БУВ розвитий строгий метод, альо Наші Сучасні Поняття Межі дали можлівість перетворіті Цю "Атомна" теорію в теорію настількі ж строго, як и метод вічерпування. Даже у Наші Дні ми Звичайний корістуємося таким Поняття "атома" при постановці математичних задач у Теорії пружності, чі фізику в хімії, залішаючі Строго теорію з переходами до Межі Професійним математикам.
Перевага "атомного" методу перед методом вічерпування в ТІМ, что перший полегшує перебування новіх результатів. Отже, в антічності БУВ вибір между суворим, альо відносно Марні методом и методом з хібкім обгрунтуванням, альо більш пліднім. Повчальних, что почти ВСІ Класичні автори застосовують перший метод. Це знов-таки может буті зв'язане з тим, что математика стала коником дозвільного класу, что спірався на рабство, Байдужим до вінаходів, Зі споглядальнімі інтересамі. Можливо и ті, что в цьом позначені перемога в области філософії математики ідеалізму Платона над матеріалізмом Демокріта.
У 334 р. до н.е.. Олександр Македонський почав завоювання Персії. У 323 р., Коли ВІН помер у Вавілоні, всієї близьким Схід БУВ у руках греків. Полководці Олександра розділілі между собою его завоювання, и Згідно вініклі три імперії: Єгипет, под Владом Птолемеїв; Месопотамія и Сирія, под Владом Селевкідів; Македонія, под Владом Антігону и его спадкоємців. Даже у долині Інду були грецькі Князі. Почаїв епоха еллінізму.
Прямим наслідком походів Олександра Було ті, что пришвидшити проникнення грецької цівілізації у Великі райони східного світу. Еллінізувалісь Єгипет, Месопотамія, частина Індії. Греки заспішілі на Близьким Схід - торговці, купці, лікарі, Мандрівники, найманці, шукачі пригод. У містах - багатая хто з них були недавно засновані, что Було легко розпізнаті по їхніх елліністічніх Назв, - військова справа й адміністрація були в руках греків, населення Було змішанім, греко-східнім. Альо еллінізм БУВ істотно місько...
