ючі на попарно незалежність, події G, R, B є перелогових у сукупності.
Для незалежності подій у сукупності крім умів
В
мают Виконувати аналогічні умови для сполучень Із n подій по 3, 4, ..., n подій.
Приклад 4. Для трьох подій А, В, С умів незалежності у сукупності є:
,
,
,
.
9. Формула повної ймовірності
Несумісні події утворюють повну систему (групу) подій, ЯКЩО діз'юнктівна сума відповідніх множини дорівнює універсуму,
,
або, ЯКЩО
.
Приклад 1. При кіданні грального кубика події А - випада НЕ больше двох очок, В - випада 3 або 4 очки та С - випада не менше 5 очок - утворюють повну систему подій. p> Если Подія У может настати при настанні будь-якої події з повної системи подій, то ее ймовірність можна обчісліті за формулою повної ймовірності
. (1.9.1)
Доведення. Для відповідної до події B множини можна записатися відому теоретико-множини Рівність
.
Події - несумісні, тому для відповідніх подій
.
Звідсі
,
что ї треба Було довести.
Приклад 2. У трьох партіях деталей, что надійшли на склад, Відсоток якісніх деталей відповідно 89, 92 и 97%, а кількість деталей у партіях відносіться як 1:2:3. Звітність, обчісліті ймовірність того, что Випадкове вибрать деталь Зі складу, виявило бракування.
Розв'язування. Нехай події - навмання вибрать деталь захи до першої, Другої, третьої партій, відповідно. Ці події утворюють повну систему подій. Тому
.
Зх умови задачі. Звідсі. Нехай Подія В - вибрать Зі складу деталь є бракування. Умовні ймовірності події В за умови задачі
,,.
За формулою повної ймовірності (1)
В
.
10. Формули Бейєса
Нехай - повна система подій. Нехай В - Подія, яка может настати при настанні будь-якої з ціх подій, Вже настала. Тоді ймовірності подій Із повної системи подій можна обчісліті за формулами Бейєса
(1)
Доведення. Операція перерізу множини комутатівна и того для відповідніх подій справджується Рівність
.
Це співвідношення такоже справедливості для події Із повної групи подій
.
Звідсі
.
Останню Рівність з врахованням формули повної імовірності (1.9.1) можна переписати у вігляді
,
что і треба Було довести.
Умовні ймовірності задовільняють рівності нормування ймовірностей
.
Часто події А i назіваються гіпотезамі, їх ймовірності апріорнімі ймовірностямі, Умовні імовірностіапостеріорнімі ймовірностямі, а Самі формули Бейєса - теорема гіпотез.
Приклад 1. Деталі, Які віготовлені в цеху заводу, потрапляють для перевіркі до одного з двох контролерів. Ймовірність того, что деталь попал до першого контролера, дорівнює 0.6, а до іншого - 0.4. Ймовірність того, что деталь буде Визнана стандартною дерло контролером дорівнює 0.94, іншим - 0.98. Вибравши деталь при Перевірці виявило стандартною. Знайте ймовірність того, что деталь перевірів перший контролер.
Розв'язування. Нехай В - вибрать деталь виявило стандартною. Можна сделать два припущені:
1) деталь перевірів перший контролер (гіпотеза);
2) деталь перевірів другий контролер (гіпотеза).
Ймовірність того, что деталь перевірів перший контролер, обчіслюється за формулою Бейєса
.
ЗА УМОВИ задачі:
(ймовірність того, что деталь потрапляє до першого контролера);
(ймовірність того, что деталь попал до іншого контролера);
(ймовірність того, что вибрать деталь буде Визнана стандартною дерло контролером);
(ймовірність того, что вибрать деталь буде Визнана стандартною іншим контролером).
Тому
.
До іспіту ймовірність гіпотезі А 1 дорівнювала 0.6, а после того, як ставши відомій результат іспіту, ймовірність цієї гіпотезі змінілася и стала 0.59.
