мається нескінченно багато елементів послідовності. p> Граничні точки називають також частковими межами послідовності.
Приклад. Шукати всі граничні точки послідовності. p> Дана послідовність - це послідовність, 3,, 3, ...
За визначенням послідовність має дві граничні точки: 1/3 і 3. Покажемо, що інших граничних точок у даної послідовності немає. Нехай - довільна точка числової осі, відмінна від 1/3 і 3. Виберемо число досить малим для того, щоб-околиці точок, 1/3 і 3 не перетиналися. Тоді всі елементи послідовності знаходяться в-околиці точок, 1/3 і 3, а в-околиці точки немає жодного елемента. Згідно з визначенням крапка не є граничною точкою. p> Визначення. Найбільша гранична точка (найбільший частковий межа) послідовності називається верхньою межею цієї послідовності і позначається символом. Найменша гранична точка (найменший частковий межа) послідовності називається нижньою межею цієї послідовності і позначається символом. p align="center"> 2. Функція
Поняття функції
Визначення. Якщо кожному значенню змінної з деякого безлічі ставиться у відповідність по відомому закону однина, то говорять, що на множині задана функція або. p> При цьому називається аргументом функції, безліч - областю завдання функції. Число, яке відповідає даному значенню аргументу, називається приватним значенням функції в точці. Сукупність усіх приватних значень утворює цілком певне безліч, зване безліччю значень функції. p> Функція називається парною (непарною), якщо для будь-якого з області визначення функції справедливо рівність ().
Функція називається періодичною, якщо існує таке число, що для будь-якого з області визначення функції справедливо рівність. Найменше з чисел називають періодом функції. p> Функції можуть задаватися, наприклад, за допомогою формул. Такий спосіб називається аналітичним. У цьому випадку використовується деякий запас вивчених і спеціально позначених функцій і алгебраїчні дії. p> Наприклад,,, і т.д. Іноді на різних ділянках своєї області завдання функції задаються різними формулами. Наприклад, функція, яка приймає значення, рівне 1 при, 0 при, - 1 при може бути записана таким чином
В
Назва функції походить від латинського слова signum - знак. Областю завдання цієї функції є вся числова пряма, а область значень складається з трьох чисел: 1, 0, - 1. p> Функція може бути також задана за допомогою опису відповідності. Наприклад, поставимо у відповідність дійсне число найбільше ціле що не перевершує. В результаті отримаємо функцію, визначену на всій числовій осі, і приймаючої цілочисельні значення. Цю функцію називають цілою частиною числа і позначають. Іншим прикладом може служити функція Діріхле, що приймає значення, рівне 1, якщо - раціональне число і 0, якщо - ірраціональне число. p> Ще один спосіб завдання функції - це табличний спосіб. У цьому випадку для деяких значень змінної вказують відповідні значення функції. Дані таблиць можуть бути отримані як безпосередньо з досвіду, так і за допомогою тих чи інших математичних розрахунків. Прикладами такого завдання функцій можуть служити таблиці тригонометричних функцій. p> Для наочного уявлення про характер функціональної залежності часто будують графіки функції.
Графіком функції називається безліч точок на площині з координатами,.
Межа функції в точці
Розглянемо функцію, визначену в деякій околиці точки, за винятком може бути самою точки.
Визначення 1 (по Гейне). Число називається граничним значенням функції в точці або границею функції при, що прагне до, якщо для будь-якої збіжної до послідовності значень аргументу, всі елементи якої відмінні від, відповідна послідовність значень функції сходиться до. p> Якщо число є граничним значенням функції в точці, то пишуть.
Приклад. Розглянемо функцію. Вона має граничне значення в будь-якій точці числової прямої, рівне. Дійсно, для будь сходящейся до послідовності всі елементи відповідній послідовності значень функції рівні . Оскільки послідовність сходиться до, то. p> Приклад. Знайдемо граничне значення функції в точці. Візьмемо довільну послідовність, сходящуюся до (). Тоді
,
тобто відповідна послідовність значень функції сходиться до. Отже. p> Приклад. Покажемо, що функція не має граничного значення в точці. Розглянемо дві послідовності і. Очевидно, що обидві ці послідовності сходяться до нуля. Послідовність значень функції, відповідна послідовності, сходиться до 0, а послідовність значень функції, відповідна послідовності, сходиться до 1. Оскільки, то розглянута функція не має границі при. p> Визначення 2 (Коші). Число називається граничним значенням функції в точці або границею функції при, що прагне до, якщо для будь-якого позитивного числа знайдеться таке позитивне число, що для всіх, які відповідають умові, виконується нерівність
.
Обм...
