еження, означає, що.
Перше і друге визначення граничного значення функції в точці рівносильні.
Розглянемо геометричний зміст границі функції в точці. Нерівність рівносильне подвійному нерівності і відповідає попаданню значень функції в-околиця точки. Аналогічно, нерівність рівносильно подвійному нерівності і відповідає попаданню значень аргументу в-околиця точки. Таким чином, число є межа функції в точці (або при ), якщо для будь-якого позитивного числа знайдеться така -околиця точки , що для всіх , з цієї околиці відповідні ординати графіка функції будуть укладені в смузі , якій би вузької ця смуга не була . Приклад. Доведемо, використовуючи друге визначення граничного значення функції в точці, що
().
Візьмемо довільне позитивне число. p> З очевидної нерівності
В
випливає, що якщо, то. Отже, для будь-якого позитивного числа, знайдеться позитивне число, таке що для всіх, задовольняють нерівності. p> Граничне значення функції при
Будемо вважати, що область завдання функції має хоча б один елемент, що лежить поза відрізка, для будь-якого позитивного числа.
Визначення. Число називається границею функції при , якщо для будь-якої нескінченно великою послідовності значень аргументу функції відповідна послідовність значень функції сходиться до. p> Приклад 1. Знайдемо межа функції при. Нехай - довільна нескінченно велика послідовність. Тоді відповідна послідовність значень функції є нескінченно малою. Отже. p> Приклад 2. Покажемо, що функція не має границі при. Дійсно, для нескінченно великою послідовності відповідна послідовність значень функції сходиться до 1. Однак для іншої нескінченно великою послідовності відповідна послідовність значень функції сходиться до 0. Отже, межа функції при не існує. p> Сформулюємо означення границі функції при прагненні аргументу до нескінченності певного знаку, тобто при і. Граничні значення функції в цих випадках можуть виявитися різними. p> Визначення. Число називається границею функції при ( ), якщо для будь нескінченно великою послідовності значень аргументу функції, елементи якої, починаючи з деякого номера, позитивні (негативні), відповідна послідовність значень функції сходиться до.
Приклад. Знайти граничні значення функції при і. p> Нехай - довільна нескінченно велика послідовність, всі елементи якої, починаючи з деякого номера, позитивні. Тоді
.
Ес Чи всі члени нескінченно великою послідовності, починаючи з деякого номера, негативні, то
.
Отже,, а.
Теореми про межі функцій
Теорема 1. Нехай, задані на одному і тому ж безлічі функції і мають в точці граничні значення і. Тоді функції,, і мають в точці граничні значення (приватне за умови, що), рівні відповідно,, і. p> Доказ
Слідство. Якщо функція має в точці граничне значення, рівне, то. p> Дійсно, нехай. Скориставшись попереднє теоремою, отримаємо
.
Теорема 2. Якщо функції і мають в точці однакові граничні значення, рівні, і в деякій проколеної околиці точки справедливо нерівність, то функція також має в точці граничне значення, рівне. p> Зауважимо, що дані теореми також справедлива у випадку, коли.
Перший чудовий межа
Теорема. Граничне значення функції в точці існує і дорівнює одиниці:
. (1)
Рівність (1) називають першим чудовим межею.
Доказ.
В
Нехай. Розглянемо окружність одиничного радіуса з центром в точці (рис.1). Нехай радіус утворює кут з радіусом. З'єднаємо точки і відрізком прямої і відновимо з точки перпендикуляр до радіуса до перетину з продовженням. Точку перетину позначимо. Тоді й. Знайдемо площі трикутника, сектора і трикутника:
,,.
Оскільки трикутник міститься в секторі, який в свою чергу міститься в трикутнику, то їх площі пов'язані співвідношенням
.
Отже,, звідки
(). (2)
Розділимо нерівність (2) на. p> В результаті отримаємо
,
звідки маємо
. (3)
У силу парності функцій і нерівність (3) справедливо і для. Оскільки, то з нерівності (3) випливає, що функції також має в точці граничне значення, рівне одиниці. p> Слідство. br/>
.
Другий чудовий межа. Теорема. Граничне значення функції при існує і
одно:
. (4)
Другий чудовий межа також записують у вигляді
. (5)
Число називається неперово числом або числом Ейлера. Воно дорівнює +2,718281828459045 ... Число прийнято за основу натуральних логарифмів:. У додатках також велику роль грає показова функція з основою. Функція називаєть...
