ргу, приблизно дорівнює площі квадрата О¶ (Х), поділеній на площу | О±Оґ - ОІОі | одного паралелограма. Строго позитивне число
d (L) = | О±Оґ - ОІОі | (8)
називається визначником решітки L. Як було тільки що показано, це число не залежить від вибору базису.
Критичні решітки.
Використовуючи введені вище нові поняття, можна помітити, що твердження про існування цілих рішень нерівності f (х 1 , х 2 ) ВЈ (4D/3) 1/2 еквівалентно твердженням про те, що будь-яка решітка L в області p> Х 1 2 + Х 2 2 ≤ (4/3) 1/2 d (L) (9)
має точки, відмінні від початку координат. У силу однорідності це в свою чергу еквівалентно твердженням, що відкритий коло
Дђ: Х 1 2 + Х 2 2 <1 (10)
містить точку кожної решітки L, для якої d (L) <(3/4) 1/2 . А той факт, що існують такі форми, для яких в (2) знак рівності необхідний, еквівалентний існуванню решітки L з з визначником d (L з ) = (3/4) 1/2 , не має точок у колі Дђ. Таким чином, завдання про довільній певної бінарної квадратичної формі еквівалентна задачі про фіксовану області Дђ і довільної решітці. Аналогічно дослідження решіток з точками в області
| Х 1 Х 2 | <1
дає інформацію про мінімумах inf | f (u 1 , u 2 ) | невизначених бінарних квадратичних форм f (x 1 , x 2 ). Тут точна нижня межа береться по всіх цілим числам u 1 і u 2 , з рівним одночасно нулю. Приклади можна продовжити. p> Подібні розгляду призводять до наступних визначень. Кажуть, що решітка L допустима для області (точкового безлічі) Г‚ у площині {Х 1 , Х 2 } якщо вона не містить ніяких інших точок Г‚, крім, може бути, початку координат. Останній випадок можливий, коли початок координат є точкою області Г‚. Тоді ми говоримо, що ця решітка Г‚-допустима. Точна нижня грань О” (Г‚) визначників d (О›) всіх Г‚-допустимих решіток є константою області Г‚. Якщо Г‚-допустимих грат не існує, то вважаємо, що О” (Г‚) = в€ћ. Тоді будь-яка решітка О›, для якої d (О›) <О” (Г‚), обов'язково містить точку області Г‚, відмінну від початку координат. Г‚-допустима решітка О›, для якої d (О›) = О” (Г‚), називається критичної (Для Г‚). Звичайно, критичні грати, взагалі кажучи, існують не завжди. p> Важливість критичних решіток була помічена вже Мінковським. Якщо L з - критична решітка області Г‚, а решітка О› отримана з О› з слабкий деформацією (тобто малим зміною пари базисних векторів), то або решітка О› має точку, відмінну від початку координат і лежить в області Г‚, або d (О›) ≥ d (О› з ). Або і те, і інше разом.
У Як приклад можна ...
