p> 3. Якщо всі можливі значення НСВ Х належать (а, в), то F (x) = 0 при x <а, і F (x) = 1 при х> у.
Слідство 3. Справедливі наступні граничні відносини. p> Диференціальна функція розподілу (ДФР) ймовірностей неперервної випадкової величини (НСВ) (Щільність імовірності). p> ДФ f (x) розподілу ймовірностей НСВ називають першу похідну від ІФР :
f (x) = F '(x)
Часто замість ФДР говорять щільність ймовірності (ПВ).
З визначення випливає, що, знаючи ІФ F (x) можна знайти ДФ f (x). Але виконується і зворотне перетворення: знаючи ДФ f (x), можна знайти ІФ F (x). br/>
;
;
В
Ймовірність того, НСВ Х прийме значення, що належить (А, в), знаходиться:
А). Якщо задана ІФ - наслідок 1. p> Б). Якщо задана ДФ
В
Властивості ДФ.
1. ДФ - не негативна, тобто . p> 2. невласний інтеграл від ДФ в межах (), дорівнює 1, тобто . p> Слідство 1. Якщо всі можливі значення НСВ Х належать (А, в), то. p> Прімери. № 263, 265, 266, 268, 1111, 272, д/з. p> Числові характеристики НСВ.
1. Математичне сподівання (МО) НСВ Х, можливі значення якої належать всій осі ОХ, визначається за формулою:
В
Якщо всі можливі значення НСВ Х належать (а, в), то МО визначається за формулою:
В
Всі властивості МО, зазначені для дискретних величин, зберігаються і для безперервних величин.
2. Дисперсія НСВ Х, можливі значення якої належать всій осі ОХ, визначається за формулою:
В
Якщо всі можливі значення НСВ Х належать (а, в), то дисперсія визначається за формулою:
В
Всі властивості дисперсії, зазначені для дискретних величин, зберігаються і для безперервних величин.
3. Середнє квадратичне відхилення НСВ Х визначається також, як і для дискретних величин:
В
Прімери. № 276, 279, Х, д/з. p> Операційні обчислення (ОІ).
ОИ являє собою метод, що дозволяє звести операції диференціювання та інтегрування функцій до більш простим діям: множення і поділ на аргумент так званих зображень цих функцій.
Використання ОИ полегшує вирішення багатьох завдань. У Зокрема, завдань інтегрування ЛДУ з постійними коефіцієнтами і систем таких рівнянь, зводячи їх до лінійних алгебраїчним.
Оригінали та зображення. Перетворення Лапласа. p> f (t)-оригінал; F (p)-зображення.
Перехід f (t) F (p) називається перетворення Лапласа . p> Перетворення по Лапласа функції f (t) називається F (p), залежна від комплексної змінної і визначається формулою:
В
Цей інтеграл називається інтеграл Лапласа. Для збіжності цього невласного інтеграла достатньо припустити, що в проміжку f (t) кусково неперервна і при деяких постійних М> 0 і задовольняє нерівності
В
Функція f (t), що володіє такими властивостями, називається оригіналом , а перехід від оригіналу до його зображення, називається перетворенням Лапласа .
Властивості перетворення Лапласа.
Безпосереднє визначення зображень за формулою (2) зазвичай утруднено і може бути суттєво полегшено використанням властивостей перетворення Лапласа.
Нехай F (p) і G (p) є зображеннями оригіналів f (t) і g (t) відповідно. Тоді мають місце такі властивості-співвідношення:
1. З * f (t) С * F (p), С = const-властивість однорідності. p> 2. f (t) + g (t) F (p) + G (p)-властивість адитивності.
3. f (t) F (p-)-теорема зміщення.
4. br/>
перехід n-ої похідної оригіналу в зображення (теорема диференціювання оригіналу).
В В В
5. y "+ py '+ qy = 0; f (x) = e ax P n ' (x)
В
Теорема диференціювання зображення
В
Таблиця зображень основних елементарних функцій. Знаходження зображень за оригіналом (перехід від оригіналу до зображення).
В
1
11/p
5
tnn!/p (n +1)
9
В
2
CC/p
6
В
3
В
7
В
10
В
4
t1/p2
8
В
Знаходження оригіналу по зображенню (Звернення зображення - ОІ). p> Відшукання оригіналу за відомим зображенням називається зверненням зображення.
У найпростіших випадках ця операція виконується за допомогою таблиці і властивостей перетворення Лапласа. При інтегруванні диференці...
