Порівнюючи результати вирішення цих двох завдань, формулюємо загальний метод розв'язку: розбиття відрізка, на якому задана функція, на рівні частини; складання суми вигляду, яка приймається як наближеного значення шуканої величини; виконання граничного переходу:. Такі межі зустрічаються при вирішенні багатьох завдань з різних галузей науки і техніки. Тому вони отримали спеціальну назву "інтеграл функції f (x) від a до b" та позначення. Таким чином, за визначенням:
,
де f (x) - безперервна на [a, b] функція; - точки, що розбивають відрізок [a, b] на рівні частини; - довжина кожної з цих частин.
Запишемо результати вирішених завдань. Площа криволінійної трапеції, заданої безперервною функцією f (x) на [a, b],
Шлях, пройдений матеріальної точкою за проміжок часу від до зі швидкістю, де - неперервна на відрізку функція,
.
Порівнюючи формули площі криволінійної трапеції
і,
отримуємо:
,
де F - первісна для f на [a, b] - формула Ньютона-Лейбніца, що дозволяє обчислювати інтеграли. p> Аналіз матеріалу навчальних посібників, пов'язаних з введенням поняття "інтеграл" та отриманням способу обчислення інтегралів, призводять до наступних важливим у методичному відношенні висновків:
1) визначення інтеграла і формула Ньютона-Лейбніца дають можливість довести ряд часто застосовуваних властивостей інтеграла. У процесі докази цих властивостей поняття інтеграла і його геометричний зміст засвоюються глибше. Можна запропонувати, наприклад, встановити справедливість наступних тверджень:
a) br/>
b) якщо функція f має на відрізку [a, b] первообразную, то
,
де C - деяка постійна;
c) довести формулу обчислення похідної від інтеграла із змінною верхньою межею інтегрування:
,
де f (x) - функція, неперервна на інтервалі, що містить точки a і x.
Запропоновані вправи корисні ще й тому, що в процесі їх вирішення встановлюються (і використовуються) зв'язку між операціями диференціювання та інтегрування, між поняттями "похідна", "первообразная", "інтеграл" та їх властивостями.
2) Поняття "інтеграла" вводиться для функції неперервної на деякому відрізку (така функція має на цьому відрізку первообразную). Свідомому засвоєнню учнями цього поняття (і поняття первообразной) сприятиме спеціальна привернення уваги школярів до цього факту. З цією метою можуть бути використані завдання, наприклад, такі:
Задача № 1 Чи можливо обчислити? (Подинтегральная функція має точку розриву), що належить відрізку).
Завдання № 2 Знайти помилку в обчисленні інтеграла:
В
(про те, що помилка дійсно допущена, свідчить результат: інтеграл від позитивної функції виявився негативним числом).
Завдання № 3 При яких значеннях меж інтегрування інтеграл існує:?
У точках 5 і -5 подинтегральная функція терп...
