приводиться до канонічного вигляду
В
відмінному від отриманого раніше.
Виникає питання, що спільного у тих різних канонічних квадратичних форм, до яких наводиться дана форма? Це питання тісно пов'язане, як ми бачимо, з таким питанням: за якої умови одна з двох даних квадратичних форм може бути переведена в іншу невиродженим лінійним перетворенням? Відповідь на ці питання залежить, однак, від того, чи розглядаються комплексні або дійсні квадратичні форми. p> Припустимо спочатку, що розглядаються довільні комплексні квадратичні форми і, разом з тим, допускається вживання невироджених лінійних перетворень також з довільними комплексними коефіцієнтами. Ми знаємо, що всяка квадратична форма від невідомих, що має ранг приводиться до канонічного вигляду
В
де всі коефіцієнти відмінні від нуля. Користуючись тим, що з усякого комплексного числа витягується квадратний корінь, виконаємо наступне невироджене лінійне перетворення:
В
Воно призводить форму до виду
В
званому нормальним; це - просто сума квадратів невідомих з коефіцієнтами, рівними одиниці.
Нормальний вигляд залежить лише від рангу форми, тобто всі квадратичні форми рангу приводяться до одного і того ж нормального вигляду (18). Якщо, отже, форми і від невідомих мають однаковий ранг, то можна перевести в (18), а потім (18) у, тобто існує невироджене лінійне перетворення, що переводить в. Так як, з іншого боку, ніяке невироджене лінійне перетворення не змінює рангу форми, то ми приходимо до наступного результату. p> Теорема:
Дві комплексні квадратичні форми від n невідомих тоді і тільки тоді переводяться один в одного невиродженими лінійними перетвореннями з комплексними коефіцієнтами, якщо ці форми мають один той же ранг.
З цієї теореми без праці випливає, що канонічним виглядом комплексної квадратичної форми рангу r може служити всяка сума квадратів r невідомих з будь-якими відмінними від нуля комплексними коефіцієнтами.
Становище дещо більш складно в тому випадку, якщо розглядаються дійсні квадратичні форми і, що особливо важливо, допускаються лише лінійні перетворення з дійсними коефіцієнтами. У цьому випадку вже не всяку форму можна привести до вигляду (18), так як це могло б вимагати вилучення квадратного кореня з від'ємного числа. Якщо, проте, ми назвемо тепер нормальним виглядом квадратичної форми суму квадратів декількох невідомих з коефіцієнтами +1 або -1, то легко показати, що будь-яку дійсну квадратичну форму можна навести невиродженим лінійним перетворенням з дійсними коефіцієнтами до нормального вигляду. p> Форма рангу від невідомих приводиться до канонічного виду, який можна записати наступним чином:
,,
де всі числа відмінні від нуля і позитивні. Тоді невироджене лінійне перетворення з дійсними коефіцієнтами при; при, призводить до нормального вигляду,. Загальне число входять сюди квадратів дорівнюватиме рангу форми. p> Д...
