br/>
де
Згідно з означенность похідної маємо
В
что ї треба Було довести.
Теорема 3. Визначеня інтеграл від неперервної Функції дорівнює різніці значень будь-якої ее первісної для верхньої та ніжньої між інтегрування, тоб ЯКЩО F (x) Вє Первісна Функції f (х), то має місце Рівність ь
(6)
яка назівається формулою Ньютона-Лейбніца.
Доведення. Нехай F (x) Деяка Первісна Функції f (Х). За теоремою 2 такоже Первісна для f (х). Альо Дві первісні Функції f (х) відрізняються позбав на Постійний доданок С. Тому
(7)
Ця Рівність (7) при відповідному обранні С буде тотожністю, тоб має місце для усіх х.
Для визначення З візьмемо у Формулі (7) х = а. Тоді
В
Отже,
В
Если у Цій рівності покласть х = b, то одержимо
В
Змінюючі змінну інтегрування t на х, одержимо формулу (6), что ї треба Було довести.
Відмітімо, что різніцю позначають часто так:
F (x), тоб F (x) =
Тому формулу Ньютона-Лейбніца (6) можна записатися у вігляді
В
Ця формула вказує НЕ Тільки на зв'язок визначеного інтеграла з невизначенності, альо ї способ обчислення.
Если проінтегруваті обідві Частини рівності
d [u (x) В· v (x)] = v (x) du (x) + u (x) dv (x)
в межах від а до b, то одержимо
В
Звідсі одержуємо ВАЖЛИВО формулу інтегрування Частинами визначеного інтеграла.
(8)
Приклад 2. Обчісліті інтеграл xcosxdx. p> Розв'язування. Нехай u = x, dv = cosxdx, тоді знаходимо du = dx, (взята Первісна без сталої С). Застосовуючі до заданого інтеграла формулу (8), одержимо
В
Теорема 4. Нехай задано інтеграл, де f (х) неперервно на відрізку [а, b]. Зробимо підстановку х = (t), аtГџ, де (T) неперервно діференційована функція на відрізку [, Гџ].
Если: при зміні t від до Гџ змінна х змінюється від а до b, тоб (а) = а, (Гџ) = b; Складна функція f [(t)] Визначи и неперервно на відрізку [, Гџ], тоді має місце Рівність
(9)
Доведення. Нехай F (x) Деяка Первісна для Функції f (х), тоб F '(X) = f (х). Розглянемо складаний функцію F [(t)]. Застосовуючі правило діференціювання складної Функції, одержимо
В
Це означає, что функція F [(t)] є первісною для Функції
Звідсі, за формулою Ньютона-Лейбніца и рівностей () = A та (Гџ) = b, одержуємо
В
что ї треба Було довести.
Приклад 3. Обчісліті
.
Розв'язування. Нехай t =, тоді t2 = 1 + хх = t2 - 1, dx = 2tdt. Знайдемо Межі інтегрування, вікорістовуючі Рівність
В
В
Отже,
В В
Для Деяк неперервно надінтегральніх функцій f (Х) первісну НЕ можна віразіті Елементарна функціямі. У ціх випадка обчислення візначного інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца Неможливо ...
