, xk] Довжина
О”хk = хk-хk-1
оберемо довільну точку и обчіслімо відповідне Значення Функції.
Побудуємо суму якові назівають інтегральною сумою для Функції f (х) на відрізку [а, b].
Означення 1. Если існує скінченна границя інтегральної суми при, незалежна від способу ділення відрізка [а, b] на Частини та добору точок, то ця границя назівається визначеня інтегралом від Функції f (х) на відрізку [а, b] и позначається
математичность це Означення можна записатися так:
(3)
Відмітімо, что числа а та b назівають Нижнього та Верхнім межами, відповідно.
Згідно з ЦІМ означенность рівності (1) та (2) Тепер можна записатися у вігляді
(4)
тоб площа кріволінійної трапеції S та шлях S, пройдений точкою Із змінною швідкістю V = f (t) віражаються визначеня інтегралом. Перевірка Існування скінченної границі інтегральної суми для кожної Функції утруднили. Альо Такої перевіркі делать не вимагає того, что Використовують таку відому теорему [1].
Теорема 1. Если функція f (х) неперервно на відрізку [а, b] або обмеже и має скінченну кількість точок розріву на цьом відрізку, то границя інтегральної суми існує, тоб функція f (х) інтегрована на [a, b].
1.3 Основні Властивості визначеного інтеграла
Із зазначений (3) визначеного інтеграла та основних теорем про граніш віплівають слідуючі Властивості.
Постійний множнік можна віносіті за знак визначеного інтеграла, тоб ЯКЩО А - стала, то
В
визначеня інтеграл від алгебраїчної суми скінченної кількості функцій дорівнює такій самій алгебраїчній сумі інтегралів від шкірного доданку, тоб
В
Если поміняті місцямі межи інтегрування, то визначеня інтеграл змінює свой знак на протилежних, тоб
В
визначеня інтеграл з рівнімі межами дорівнює нулю, тоб
В
для будь-якої Функції f (х).
Если f (х) (х), х [а, b], то
В
Если m та M - найбільше та найменшого Значення Функції f (х) на відрізку [a, b], то
В
де
В
1.4 Зв'язок между визначення та невизначенності інтеграламі
Означення 2. Визначеня інтеграл з постійною Нижню межею та змінною Верхньому межею назівають інтегралом Із змінною Верхнім межею.
Щоб мати звичних позначені, змінну верхню межу позначімо через х, а змінну інтегрування - t.
одержимість інтеграл Який є функцієюх, тоб Ф (х) =
Теорема 2. Если f (х) неперервно функція, то похідна визначеного інтеграла від неперервної Функції по змінній Верхній Межі дорівнює значень підінтегральної Функції для цієї верхньої Межі, тоб
(5)
Доведення. Надам аргументу х ПРИРІСТ О”х, тоді функція Ф (х) одержимий ПРИРІСТ, Який згідно з властівістю 8 визначеного інтеграла можна записатися у вігляді
В
До последнего інтеграла застосуємо властівість 7, тоді
<...
