) і B (b) одиничному колі = l. Для шуканої координати z маємо систему
з якої знаходимо:
Оскільки то отримуємо остаточно:
або (20)
Покажемо тепер метод комплексних чисел в дії, застосовуючи його до доказу класичних теорем елементарної геометрії.
Теорема Ньютона . В описаному біля кола чотирикутнику середини діагоналей колінеарні, з центром кола.
Доказ. Приймемо центр кола за початок, вважаючи її радіус рівним одиниці. Позначимо точки дотику сторін даного чотирикутника AoBoCoDo через А, В, С, D (в круговому порядку) (рис. 4 ). Нехай М і N - середини діагоналей АoСo і BoDo відповідно. Тоді згідно (20) точки Аo, Вo, Сo, Do будуть мати відповідно комплексні координати:
де a, b, c, d - комплексні координати точок A, B, C, D.
Тому
Обчислюємо Оскільки то безпосередньо видно, що На підставі (6 ) точки О, М, N колінеарні.
Теорема Гаусса. Якщо пряма перетинає прямі, що містять сторони ВС, СА, АВ трикутника АВС відповідно в точках А1, B1, C1, то середини відрізків АА1, ВВ1, СС1 колінеарні (мал. 5).
Доказ. Використовуючи (11), запишемо умови коллинеарности трійок точок АВ1С, СА1В, ВС1А, A1B1C1:
(21 )
Якщо М, N, P - середини відрізків AA1, BB1, CC1, то належить показати, що
(22)
Бо те доказувана рівність (22) еквівалентно такому:
або після перемноження:
(23)
Тепер легко бачити те, що (23) виходить почленного складанням рівностей (21). Доказ закінчено.
Теорема Паскаля . Точки перетину прямих, що містять протилежні сторони вписаного шестикутника, лежать на одній прямій.
Доказ. Нехай в коло вписаний шестикутник ABCDEF і (рис.6). Приймемо центр кола за нульову точку площини, а її радіус - за одиницю довжини. Тоді згідно (17) маємо:
< p>
Обчислюємо
і аналогічно
Далі знаходимо:
Оскільки числа рівні відповідно, то усна перевірка виявляє, що знайдене вираз збігається зі своїм зв'язаним, тобто є дійсним числом. Це означає колінеарність точок М, N, Р.
Teope м a M Онжа . Під вписаному в коло чотирикутнику прямі, що проходять через середини сторін і. кожній діагоналі перпендикулярно протилежним сторонам і відповідно іншої діагоналі, перетинаються в одній точці. Вона називається точкою Монжа вписаного чотирикутника.
Доказ. Серединні перпендикуляри до сторін чотирикутника ABCD перетинаються в центрі описаного кола, який приймемо за початкову точку. Для кожної точки М (z) серединного перпендикуляра до [AB] число чисто уявне.
Зокрема, при z = 0 воно дорівнює . Для кожної точки N (z) прямої, що проходить через середину сторони CD перпендикулярно (AB), число необхідно буде чисто уявним і назад. Але для z = воно дорівнює тобто чисто...
