оллинеарности точок О, А, В): ​​ Для того щоб точки А (а) і В (b) були колінеарні з початковою точкою О, необхідно і достатньо, щоб приватне було дійсним числом, тобто
або
(6)
Дійсно, так як в цьому випадку число дійсне (k =), то критерій (6) еквівалентний такому:
. (7)
Візьмемо тепер точки A (а), B (b), C (c), D (d). p> ОПР : Вектори і колінеарні тоді і тільки тоді, коли точки, які визначаються комплексними числами а-b і з-d, колінеарні з початком О.
зауваження:
1. На підставі (6) маємо:
; (8)
2. Якщо точки А, В, С, D належать одиничному колі = l, то
, і тому умова (8) приймає вигляд:
; (9)
3. Колінеарність точок A, В, С характеризується коллинеарности векторів і. Використовуючи (8), отримуємо:
. (10)
Це критерій приналежності точок A, B, С одній прямій. Його можна представити у симетричному вигляді
(11)
Якщо точки A і B належать одиничному колі = l, то, і тому кожне з співвідношень (10) і (11) перетвориться ( після скорочення на (а-b) у таке:
(12)
Точки А і В фіксуємо, а крапку З будемо вважати змінної, переобозначив її координату через z. Тоді кожне з отриманих співвідношень (10), (11), (12) буде рівнянням прямої АВ:
, (10а)
. (12a)
Зокрема, пряма ОА має рівняння
Переходимо до висновку критеріїв перпендикулярності відрізків. Ясно, що
Комплексні числа з аргументами і - є чисто уявними.
< p> Тому,
або
(13)
Відрізки АВ і CD перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли вектори точок з комплексними координатами а-b і з-d перпендикулярні. В силу (13) маємо:
(14)
Зокрема, коли точки А, В, С, D належать одиничному колі = l, то залежність (14) спрощується:
(15)
Виведемо рівняння дотичної до одиничному колі = l в її точці
P (р). Якщо М (z) - довільна точка цієї дотичної, то і назад. На підставі (14) маємо:
або
.
< p> Оскільки, то рівняння дотичної стає таким:
. (16)
Це окремий випадок рівняння (12a) при а = b = р. Вирішимо ще дві допоміжні завдання, необхідні для рішення змістовних геометричних задач.
Задача 1. Знайти координату точки перетину січних АВ і CD одиничному колі = l, якщо точки А, В, С, D лежать на цій окружності і мають відповідно комплексні координати а, b, с, d.
Користуючись рівнянням (12а), отримуємо систему
з якої почленного відніманням знаходимо:
(17)
У тому окремому випадку, коли хорди АВ і CD перпендикулярні, в силу (15) ab =-cd, і тому результат (17) приводиться до виду
звідки
(18)
У цьому випадку точка перетину визначається тільки трьома крапками A, В, С, так як, і, значить,
(19 )
3адача 2. Знайти комплексну координату точки перетину дотичних в точках A (а...
