уявне. Отже, точка Е з комплексної координатою
лежить на зазначеній прямій. А це вираз симетрично щодо букв а, b, с, d. Тому і інші п'ять аналогічно побудованих прямих містять крапку Е.
Вирішимо ще кілька основних планіметричних задач.
3адача 3. Довести, що діагоналі чотирикутника ABCD, вписаного в коло, перпендикулярні і тоді тільки тоді ми, коли сума квадратів двох його протилежних сторін дорівнює сумі квадратів двох інших протилежних сторін.
Рішення. Потрібно довести:
Запишемо використовуючи (15):. Тоді, скориставшись формулами (15), (2) і тим, що точки A, B, C, D належать окружності, приходимо до висновку, що
3адача 4. Довести, що якщо середні лінії MP, NQ чотирикутника ABCD рівні, то його діагоналі AC і BD перпендикулярні і назад.
Рішення. Потрібно довести:.
(a) так як
, cогласно (4a). Підставимо ці вирази в рівності (a) і отримаємо: але це і є умова того , що (див. 14).
Кути і площі. Критерій приналежності чотирьох точок одній окружності
Домовимося позначати символом позитивно орієнтований кут, на який треба повернути вектор, щоб він став сонаправлени
з вектором. Якщо і, то точкам Р і Q відповідають комплексні числа b-а і d -c (рис.7) і
(24)
Ця формула в застосуванні до позитивно орієнтованого трикутнику АВС дає:
(25)
Якщо z = r (, то Звідси
(26)
Тоді так як
Отже,
(27)
Аналогічно знаходимо:
. (28)
Виведемо формулу для площі S позитивно орієнтованого трикутника АВС:
або
(29)
що можна записати у вигляді визначника третього порядку:
(30)
< p> Якщо трикутник АВС вписаний в коло, то формула (29) перетвориться до виду
. (31)
Для площі S позитивно орієнтованого чотирикутника ABCD маємо:
(32)
Якщо чотирикутник ABCD вписаний в коло zz == l, то (32) приймає вигляд:
(33)
Три довільно взяті точки завжди належать або одній окружності, або одній прямій. Критерії приналежності трьох точок одній прямій розглянуті вище.
Доведемо КРИТЕРІЙ приналежність чотирьох точок одній окружності або прямий.
Візьмемо чотири довільні точки A, В , С, D відповідно з комплексними координатами а, b, c, d. Комплексне число
(34)
називається подвійним ставленням точок A, В, С, D і позначається (AB , CD ) . Порядок точок істотний.
Теорема. Для того щоб, чотири точки лежали на одній прямій або на одній окружності, необхідно і достатньо, щоб їх подвійне ставлення було дійсним числом.
Доказ. Якщо точки А, В, С, D колінеарні, то відносини і дійсні числа (див. умову (10)). Отже, в цьому випадку буде дійсним і подвійне ставлення (34). Якщо точки А, В, С, D лежать на колі, то ...
