я по-рядку матриці.
Теорема 2
Справедливі рівності:
Розглянемо матрицю, яка отримана з матриці наступним чином: всі стовпці матриці, крім-го такі ж як і у матриці. -Тий стовпець матриці збігається з-стовпцем, тоді у два однакових стовпця, тому визначник матриці дорівнює нулю, розкладемо визначник матриці по-тому стовпцю. p>,, тоді. Формула (2) показується аналогічно. p> Слідство:
В§ 5 Визначник твір матриць p> полі скалярів,,
Лемма 1
Нехай елементарна матриця порядку, тоді справедливо рівність:
1)., т.е отримана з матриці, множенням-рядки на скаляр. Визначник матриці.
Матриця отримана з множенням-рядки на скаляр, тому визначник
2)
Матриця, отримана з додатком до-рядку
Лемма 2
-елементарні матриці
1), доказ випливає з Леми 1
2), доказ з твердження (1) за умови
Теорема 1
Визначник добутку двох матриць дорівнює добутку їх визначників тобто p> Доказ:
Нехай рядки матриці лінійно незалежні, тоді існує ланцюжок елементарних перетворень, тоді по Лемме 2 випливає, що. З того, що () Маємо:, тоді
2) Рядки лінійно залежні, тоді існує ланцюжок елементарних перетворень, яка переводить у ступінчасту матрицю, у якої є нульова рядок тобто ,. Тоді
З того, що, в творі, теж є нульова рядок, тому
Необхідні і достатні умови рівності визначника нулю p> полі скалярів,,-матриця над полем
Теорема 1
рядка (Стовпці) матриці лінійно залежні
Достатність:
Якщо рядки (стовпці) матриці лінійно залежні, то якась рядок є лінійною комбінацією інших рядків (по 8 свойсво визначників)
Необхідність:
Нехай. Доведемо, що рядка лінійно залежні. Припустимо, що рядки лінійно незалежні, тоді існує ланцюжок елементарних перетворень переводящее. З доведеного в пункті II випливає, що. Отримали протиріч. Доведемо, що якщо-рядок матриці лінійно залежна,, але (числа векторів шпальти) лінійно залежна.
Теорема 2
наступні умови рівносильні:
1)
2)-лінійно залежні
3)-оборотна
4) подана в вигляді твору елементарних матриць
Доказ:
доведено в Теоремі 1
В§ 6 Розбиття матриць p> Якщо матрицю, матрицю, матрицю і матрицю записати у вигляді
(1)
То вони, утворюють деяку матрицю. У такому випадку можуть бути названі блоками матриці. І позначені відповідно. Представлення (1) називається розбиттям матриці.
Якщо матричне твір існує і, розбиті на блоки,, а розбиття за стовпцями матриці відповідає разбиению по рядках матриці, то можна очікувати, що має блоки, що задаються формулою
Таким чином, ми припускаємо, що твір матриць в термінах блоків, отриманих при відповідних розбитті співмножників, формально збігається з твором цих матриць в термінах скалярних елементів. Покажемо це на прикладі:
Упраж...
