поділ x домінує y. Це домінування позначається так:
x> y.
Наявність домінування x> y означає, що в множині гравців N знайдеться коаліція, для якої x переважніше y. Ставлення домінування не володіє повністю властивостями рефлексивності, симетрії, транзитивності, можлива тільки часткова симетрія і транзитивність. Співвідношення домінування можливо не по всякої коаліції. Так, неможливо домінування по коаліції, що складається з одного гравця або з усіх гравців.
Справедлива наступна теорема.
Теорема. Якщо u і u1 - дві стратегічно еквівалентні характеристичні функції, причому Дележа x і y відповідають поділи і, то з x> y слід>.
Очевидно, всі явища, що описуються в термінах домінування поділів, відносяться до класів стратегічної еквівалентності, тому досить вивчати ці класи (а не самі ігри) для істотних ігор з їх (0,1)-скороченої формі, а для несуттєвих ігор - за нульовими іграм.
У будь несуттєвою грі є тільки один поділ, тому ніяких домінування в ній немає.
Розглянемо домінування поділів в істотною грі на наступному прикладі.
Приклад. Нехай є (0,1)-зредукована форма істотною ігри трьох гравців з постійною сумою (рівної 1). Оскільки домінування неможливо ні за однією з одноелементних коаліцій 1,2,3, а також по коаліції, що складається з усіх трьох гравців, то домінування можливе тільки за однією з двоелементних коаліцій {1,2}, {1,3}, {2,3}.
Для наочності домінування поділів введемо поняття бароцентріческіх координат. Осями координат служать три осі x1, x2, x3, складові між собою однакові кути 60о, вісь x3 знаходиться на відстані одиниці від точки перетину осей x1 і x2 (рис.1), координати точки x = (x1, x2, x3) - відповідно відстані від цієї точки до осей x1, x2, x3, взяті з такими знаками, як зазначено на рис.1. (Наприклад, для точки x на рис.1. X1 <0, x2> 0, x3> 0). p>
У барицентрична системі координат завжди виконується рівність
x1 + x2 + x3 = 1. p> У площині завжди є точка з координатами x1, x2, x3, задовольняють рівності (6). З цього бароцентріческая система координат автоматично задовольняє один з умов, що визначають результат гри трьох гравців. З іншого боку, оскільки гра в (0, 1)-скороченої формі, то точка x повинна знаходитися в заштрихованому трикутнику (див. рис. 2). Поділи x1, x2, x3 повинні задовольняти неравенствам
x1 + x2 ВЈ u (1, 2), x1 + x3 ВЈ u (1, 3), x2 + x3 ВЈ u (2, 3).
Очевидно, з умови додатковості, що
x1 + x2 = 1 - x3 ВЈ 1 = u (1, 2), x1 + x3 ВЈ 1, x2 + x3 ВЈ 1.
Поділ x = (x1, x2, x3) домінує поділ y = (y1, y2, y3)
по коаліції {1, 2}, якщо x1> y1, x2> y2;
по коаліції {1, 3}, якщо x1> y1, x3> y3;
по коаліції {2, 3}, якщо x2> y2, x3> y3,
тобто якщо поділ y знаходиться в одному з заштрихованих паралелограмів (за винятком трьох граничних прямих, що проходять через точку x) на рис. 3, то розподіл x домінує поділ y, а всяка точка перебувають в не заштр...
