найбільший спільний дільник поліномів h і g в кільці F1 [x]. Так як g (b) = 0, то xb ділить g в E [x]. Далі, в силу (1)
h (b) = f (g-cb) = f (a) = 0. p> Тому xb ділить поліном h в E [x]. Таким чином, x-b є спільний дільник h і g в кільці E [x]. p> Доведемо, що g і h в С не має коренів, відмінних від b. Справді, припустимо, що bk, k0 {2, ..., n}, є їх загальний корінь. Тоді h (bk) = f (g - сbk) = 0. Отже, знайдеться такий індекс i0 {1, ..., m}, що g = ai + cbk (k> 1), а це суперечить (2). На підставі цього укладаємо, що xb є найбільший спільний дільник g і h в E [x]. Оскільки x - b - нормований поліном, то звідси випливає, що x - b є найбільшим загальним дільником g і h в кільці F1 [x]. Тому
(x-b) 0 F1 [x] і b 0 F1 = P (g).
Крім того, a = g - Cb 0 F1. Таким чином,
F = P (a, b) ГЊ F1, F1ГЊF.
Отже, F = P (g). Далі, так як g (Як і всякий елемент з F) є алгебраїчний елемент над P і F = P (g), то поле F = P (g) є шуканим простим алгебраїчним розширенням поля P. h2> 2.4. Поле алгебраїчних чисел.
У класі підполів поля комплексних чисел одним з найбільш важливих є поле алгебраїчних чисел. p> Визначення. Алгебраїчним числом називається комплексне число, що є коренем полінома позитивної ступеня з раціональними коефіцієнтами.
Зазначимо, що число алгебри є будь-яке комплексне число, алгебраїчне над полем Q. Зокрема, будь-яке раціональне число є алгебраїчним. p> Теорема 2.8. Безліч A всіх алгебраїчних чисел замкнуто в кільці E = + С, +, -, •, 1, комплексних чисел. Алгебра A = + А, +, -, •, 1, є полем, підполем поля E. p> Доказ. Нехай a і b - будь-які елементи з А. По слідству 2.6, поле Q (a, b) є алгебраїчним над Q. Тому числа a + b,-а, ab, 1 є алгебраїчними, тобто належать безлічі A. Таким чином, безліч А замкнуто щодо головних операцій кільця E. Тому алгебра A - подкольцо кільця E - Є кільцем. p> Крім того, якщо a-ненульовий елемент з А, то a-1 0 Q (a, b) і тому а-1 належить А. Отже, алгебра A є поле, підполе поля E. p> Визначення. Поле A = + А, +, -, •, 1, називається полем алгебраїчних чисел. <В
Приклад. p> Показати, що число a = є алгебраїчним. p> Рішення. З a = слід a-. p> Зведено обидві частини останнього рівності в третю ступінь:
a3-3a29a-3 = 2
або
a3 +9 A-2 = 3 (a2 +1). p> Тепер обидві частини рівності зводимо в другу ступінь:
a6 +18 a4 +81 a2-4a3-36a +4 = 27a4 +54 a2 +27
або
a6-9a4-4a3 +27 a2-36a-23 = 0.
Таким чином a є коренем многочлена
f (x) = a6-9a4-4a3 +27 a2-36a-23 = 0
з раціональними коефіцієнтами. Це означає що a - алгебраїчне число. h2> 2.5. Алгебраїчна замкнутість поля алгебраїчних чисел.
Теорема 2.9. Поле алгебраїчних чисел алгебраїчно замкнуто. p> Доказ. Нехай A [X] - кільце поліномів від x над полем A алгебраїчних чисел. Нехай
f = а0 + а1x + ... + Аnхn (а0, ..., аn 0 A)
- будь поліном позитивної ступеня з A [x]. Нам треба ...
