з (5) слідують рівності
(6) с1ka 1 + ... + сmka m = 0 (k = 1, ..., n).
Оскільки елементи a 1, ..., am лінійно незалежні над P, то з (6) слідують рівності
c1k = 0, ..., cmk = 0 (k = 1, ..., n),
показують, що всі коефіцієнти в (5) дорівнюють нулю. Таким чином, система елементів B лінійно незалежна і є базисом F над P. p> Отже встановлено, що [F , P] = nm = [F: L] Г— [L: P]. Отже, F є кінцевим розширенням поля P і має місце формула (I). p> Визначення. Розширення F поля P називається складовим алгебраїчним, якщо існує зростаюче ланцюжок підполів поля P
P = L0 - L1 - ... - Lk = F і k> 1 (1)
така, що при i = 1, ..., k поле L i є простим алгебраїчним розширенням поля L i-1. Число k називається довжиною ланцюжка (1). p> Слідство 2.4. Складений алгебраїчне розширення F поля P є кінцевим розширенням поля P.
Доказ легко проводиться індукцією по довжині ланцюжка (1) на підставі теореми 2.3. p> Теорема 2.5. Нехай a1, ..., ak - алгебраїчні над полем P елементи поля F. Тоді поле P (a1, ..., ak) є кінцевим розширенням поля P. p> Доказ. Нехай
L 0 = P, L 1 = P [a1], L 2 = P [a1, a2,], ..., L k = P [a1, ..., ak].
Тоді L1 = P [a1] є просте алгебраїчне розширення поля L0; L2 є просте алгебраїчне розширення поля L1, так як
L2 = P [a1, a2] = (P [a1]) [a2] = L1 [a2] = L1 (a2) і т. д.
Таким чином,
P = L0 - L1 - ... - Lk = F
де Li = Li-1 (ai) при i = 1, ..., k, тобто кожен член ланцюжка (2) є простим алгебраїчним розширенням попереднього члена ланцюжка. Отже, поле F є складовим алгебраїчним розширенням поля P. Отже, в силу слідства 2.4 полі F є кінцевим розширенням поля P. p> Слідство 2.6. Складений алгебраїчне розширення поля є алгебраїчним розширенням цього поля.
2.3. Простота складеного алгебраїчного розширення поля.
Теорема 2.7. Нехай числове поле F є складене алгебраїчне розширення поля P . Тоді F є простим алгебраїчним розширенням поля P. p> Доказ. Нехай P-L - F, причому L = P (a), F = L (b) і, отже, F = P (a, b). p> Нехай f і g - мінімальні поліноми над P відповідно для чисел a і b і deg f = m, deg g = n. Поліноми f і g приводиться над P і, отже, не мають в полі E комплексних чисел кратних коренів. Нехай
a = a1, ..., am - корені полінома f в C і
b = b1, ..., bn - коріння полінома g в C. p> Розглянемо кінцеве безліч М:
M = {(ai-a)/(b-bk) ВЅ i0 {1, ..., m}, k0 {2, ..., n}}.
Оскільки P - числове безліч (і, значить, нескінченна), то в P існує число c, відмінне від елементів множини М, c0P (М, cГіМ. Нехай
(1) g = A + cb. p> Тоді виконуються співвідношення
(2) g В№ ai + cbk = (i0 {1, ..., m}, k0 {2, ..., N}). p> Справді, у випадку рівності a + сb = Ai + сbk було б
з = (ai-a)/(b-bk) 0 M
що суперечило б вибору числа c. p> Нехай F1 = P (g) і F1 - кільце поліномів від x. Нехай h = f (g - cx) - поліном з F1 [x] (g, c0P (g) = F1). Покажемо, що xb є...
