крайніх (кутових) точок, то будь-яка точка може бути представлена ​​у вигляді опуклої комбінації крайніх точок.
В
1) Нехай - деяка внутрішня точка. Багатогранник обмежений замкнутий, має кінцеве число кутових точок. - Допустиме безліч. p> Припустимо, що точка є оптимальною точкою, тобто,. Припустимо, що точка не є кутовий. Тоді на підставі леми точку можна виразити через кутові точки багатогранника, тобто
,,.
Так як функція лінійна, то
. (*) br/>
Виберемо серед точок ту, в якій лінійна форма приймає найменше значення. Нехай це буде точка. Позначимо мінімальне значення функції в кутовій точці через:
.
Підставами дане значення функції в лінійну форму (*) замість і отримаємо:
.
Так як - оптимальна точка, то отримали протиріччя: (!). Отже,, - кутова точка. p>) Припустимо, що лінійна форма приймає мінімальне значення більш ніж в одній кутовий точці, наприклад, в кутових точках. Тоді якщо є опуклою комбінацією цих точок, тобто
, і,
те.
Тобто, якщо мінімальне значення досягається більш ніж в одній кутовий точці, то того ж самого значення лінійна форма досягає в будь-якій точці, що є опуклою комбінацією цих кутових точок.
екстремум функція нелінійний програмування
1.4 Нелінійне програмування. Постановка загальної задачі нелінійного програмування
Нелінійне програмування (NLP, англ. NonLinearProgramming) - випадок математичного програмування, в якому цільовою функцією або обмеженням є нелінійна функція.
Загальна задача нелінійного програмування (ОЗНПО) визначається як задача знаходження максимуму (або мінімуму) цільової функції f (x1, х2, ..., xn) на множині D, визначеному системою обмежень
В
де хоча б одна з функцій f або gi є нелінійної.
За аналогією з лінійним програмуванням ЗНП однозначно визначається парою (D, f) і коротко може бути записана в наступному вигляді
В
Також очевидно, що питання про тип оптимізації не є принциповим. Тому ми, для визначеності, надалі за замовчуванням будемо розглядати задачі максимізації. p align="justify"> Як і в ЗЛП, вектор х * = (x1 *, x2 *, ..., xn *) D називається допустимим планом, а якщо для будь-якого x D виконується нерівність f (x *)? f (x), то х * називають оптимальним планом. У цьому випадку х * є точкою глобального максимуму. p align="justify"> З точки зору економічної інтерпретації f (x) може розглядатися як дохід, який отримує фірма (підприємство) при плані випуску х, а gi (х)? 0 як технологічні обмеження на можливості випуску продукції. У даному випадку вони є узагальненням ресурсних обмежень у ЗЛП (аiх - bi? 0). p align="justify"> Задача (2.2) є вельми загальною, т. к. допускає запис логічних умов, наприклад:
В
