. Симетричність
. Розрідженість
Далі (глава В«Прискорення кроку SQPВ») будуть розглянуті різні методи для вирішення такої системи лінійних рівнянь.
Прискорення алгоритму: редукція змінних
В якості першого способу прискорення роботи алгоритму був розглянутий метод редукції змінних. Основна ідея методу - зменшення числа змінних і знаходження рішення на просторі меншої розмірності. Розглянемо, наприклад, метод редукції, наведений в [2]: нехай є система різницевих рівнянь виду:
В
,
де - шукані вектори розмірності, - задані вектори і - задана квадратна матриця порядку.
Запишемо рівняння (3.6) у точках і:
В В
Складаючи (3.8) і (3.9) отримаємо
,
звідки, враховуючи, що:
,
прийдемо до рівняння
,
зв'язує значення шуканого вектора у вузлах однаковою парності. Зокрема, якщо - парні, то проведено виняток непарних вузлів. Далі цей процес виключення можна продовжити аналогічним чином. При цьому припускаючи, що число вузлів є ступенем двійки (), можна звести систему (3.6) до системи з двома невідомими. Випадок для довільного числа докладно розглянуто в [2]. При проведення виключення змінних на-му етапі виключення отримуємо систему
,
де матриці і вектори знаходяться з рекурентних співвідношень
В В В В
Таким чином, весь процес вирішення складається з прямого і зворотного ходу. Прямий хід полягає в знаходженні матриць і векторів за формулами (3.14) і (3.15). Зворотний хід полягає в знаходженні векторів із системи (3.13), починаючи з. p align="justify"> Формули редукції для ОДУ без запізнілих аргументів
Основною відмінністю даної системи від системи, отриманої при вирішенні нашого завдання, є незалежність матриці від індексу і рівність коефіцієнтів при і, що не дозволяє використовувати таку редукцію змінних без додаткових розрахунків.
Запишемо систему рівнянь для випадку рішення задачі оцінки параметром ОДУ без запізнілих аргументів:
В В
Позначимо матриці перетворення
В В В
Запишемо рівняння для і для системи (3.17)
В В
,
звідки, виражаючи і, отримуємо
В В
Аналогічно, для отримуємо рекуррентную формулу
В
Введемо заміну змінних
В В
Провівши підстановку формул для попередніх значень, отримаємо
,
В В В
Таким чином, отримаємо остаточні формули для матриць перетворення
В
Тепер використовуючи (3.29) можна звести вихідну оптимізаційну задачу до розмірності, тобто до задачі, у якої число невідомих змінних і число обмежень не залежать від. Це в свою черг...
