/b> Використовуючи властивості математичного сподівання і функції виду
(2.2)
де задано виразом (1.15), запишемо
В В
Звідки, враховуючи лему Д5.1 роботи [1], отримаємо
В
Зробимо заміну змінних тоді,
В
Зробимо заміну змінних, отримаємо
В
Враховуючи, що згортка двох ядер є ядром,
-
ядро. Тоді,
В В
Оскільки взаємна спектральна щільність неперервна в точці і обмежена на, а є ядром, отримаємо необхідний результат. Теорема доведена. p> Таким чином, статистика, що задана виразом (1.6) є асимптотично незміщеної оцінкою взаємної спектральної щільності,,.
Лемма 2.1. [1] Якщо на відрізку функція має обмежену варіацію, то
.
Як окремий випадок з леми 4.1 можемо отримати співвідношення
~, () (2.3)
де функція - довільна функція обмеженої варіації на відрізку.
Лемма 2.2. Для функції, заданої виразом (2.2), справедливі співвідношення
, (2.4)
для будь-якого,
, (2.5)
, (2.6)
де
. (2.7)
Доказ. Підставляючи в явному вигляді, отримаємо
.
Використовуючи співвідношення (1.8) одержимо (2.4).
Доведемо співвідношення (2.5). Неважко бачити, що
.
Використовуючи (1.9), отримаємо
.
Аналогічно можна показати, що
.
Звідки випливає справедливість співвідношення (2.5).
Доведемо (2.6). Використовуючи нерівність Гельдера, отримаємо
В
=.
Звідки, використовуючи (2.3), отримаємо необхідний результат. Лема доведена. p> Досліджуємо швидкість збіжності математичного очікування оцінки, припускаючи, що,, задовольняє умові
, (2.8)
для будь-яких, - деяка позитивна константа,
Лемма 2.3 . Для ядра,, при будь-якому
(2.9)
Доказ. Запишемо
В
де
Оскільки функція неперервна на, отже, для будь-якого існує що як тільки те, тому
В
можна зробити як завгодно малим за рахунок вибору. Значить,
В
Розглянемо.
В
Аналогічно можна довести, що
В
Лема доведена.
Лемма 2.4 . Для ядра, заданого виразом (2.2), при будь-якому справедливо
(2.10)
Доказ. Запишемо
В
де
Оскільки функція неперервна на, отже, для будь-якого існує що як тільки те, тому
В
можна зробити як завгодно малим за рахунок вибору. Значить,
В
Розглянемо.
В
Аналогічно можна довести, що
В
Лема доведена.
Теорема 2.2. Якщо взаємна спектральна щільність,,, задовольняє припущенням 1.2, то для математичного сподіванн...
