я оцінки,, що задається (1.6), має місце рівність
(2.11)
де а задається виразом (2.2).
Доказ . Враховуючи, що математичне сподівання оцінки має вигляд
,
зробивши заміну змінних, отримаємо
В
Звідки, враховуючи співвідношення (2.8), можемо записати
В В
На підставі лем 2.3 та 2.4, отримаємо необхідний результат. Теорема доведена. br/>
3.2 Дослідження асимптотичних властивостей коваріації і дисперсії побудованої оцінки
Досліджуємо асимптотичну поведінку оцінки взаємної спектральної щільності,, заданою співвідношенням (1.6).
Теорема 2.4. Якщо взаємна спектральна щільність безперервна в точках і обмежена на, семіінваріантная спектральна щільність 4-го порядку обмежена на, вікна перегляду даних,,, задовольняють припущенням 1.1, а спектральні вікна задовольняють припущенням 1.2 ,
(2.12)
то для статистики, що задається співвідношенням (1.6), справедливе співвідношення
(2.13)
В
Доказ. Використовуючи визначення ковариационной функції та властивості математичного чекання, коваріація статистики може бути представлена ​​у вигляді
В В В В В В
Враховуючи, що відповідно до теореми 3 роботи [2]
В
і так як спектральні вікна задовольняють припущенням 1.2, справедливе співвідношення (2.13).
Теорема доведена.
Теорема 2.5. При збереженні умов теореми 2.4 для статистики, що задається співвідношенням (1.6), справедливе співвідношення
(2.14)
В
Доказ випливає з теореми 2.4, поклавши, а
Зі співвідношень (2.14) (2.1) випливає, що
(2.15)
Таким чином, статистика в умовах теореми 2.4 є спроможною в середньоквадратичному сенсі оцінкою взаємної спектральної щільності.
4. Порівняльний аналіз оцінки спектральної щільності в залежності від вікон перегляду Невідомо і числа інтервалів розбиття спостережень
Проведемо порівняльний аналіз оцінки (1.7) для різних вікон перегляду даних і числа інтервалів розбиття спостережень. Розглянемо наступні вікна перегляду даних:
1.1 - вікно Діріхле;
.1 - вікно фейєра;
.;
. - Вікно Хеннінг;
. - Вікно Хеммінга;
. - Вікно Хеммінга;
., де - вікно Хеммінга;
.1 - вікно Рісса;
..
Для дослідження оцінки (1.7) було досліджено ряд, що складається з 200 спостережень показників атмосферного тиску в місті Бресті з січня 2006 року по березень 2010 року.
При розбитті вихідної послідовності спостережень на L непересічних інтервалів за N значень в кожному були розглянуті случаи:
1. L = 50, N = 4;
2.
