легко отримати, враховуючи, що довжина вектора
=.
У шкільному курсі розглядається ще одна операція над векторами - скалярний добуток векторів.
Скалярним твором двох векторів називається число, рівне добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.
Позначають скалярний добуток векторів і символами
Г— або (,).
Таким чином, за визначенням
Г— = Г— Г— cos,
де - кут між векторами і.
Скалярний твір має такі властивості:
. Г— = Г—
. p>. (+) Г— = Г— + Г—
. Якщо вектори і взаємно перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю (і навпаки), тобто ^ Г— = 0. p> Умова Г— = 0 тому і називають умовою перпендикулярності векторів.
. Г— =. Звідси отримують правило для обчислення довжини вектора:
=
Якщо відомі координати векторів і, то легко показати, що скалярний добуток дорівнює сумі творів однойменних координат векторів, тобто якщо = (х1, у1, z1) і = (х2, у2, z2), то
Г— = х1 Г— х2 + у1 Г— у2 + z1 Г— z2
Умова перпендикулярності тоді прийме вигляд:
^ x1 Г— x2 + y1 Г— y2 + z1 Г— z2 = 0
Нехай, наприклад, дано вектори = (2, -1, 2), = (1, 0, 4), = (3, 4, -1).
Знайдемо скалярні твори
Г— = 2 Г— 1 + (-1) Г— 0 + 2 Г— 4 = 10,
Г— = 2 Г— 3 + (-1) Г— 4 + 2 Г— (-1) = 0,
Г— = 1 Г— 3 + 0 Г— 4 + 4 Г— (-1) = -1.
Ми виявили, що вектори і утворюють прямий кут.
Використовуючи визначення скалярного твори, можна обчислити кут між векторами за формулою
.
Найпростіші задачі методу координат
При вирішенні чисто геометричних задач використовуються формули і правила, що дозволяють обчислити довжину відрізка або вектора, відстань між точками, кут між векторами або осями, знайти точку, яка ділить даний відрізок.
Розглянемо ці завдання.
. Відстань між точками
А (х 1 , у 1 , z 1 ) і В (х 2 , y 2 , z < span align = "justify"> 2 ):
=.
Ця ж формула дозволяє обчислити довжину вектора.
. Ділення відрізка в даному відношенні
Нехай у просторі дано дві точки М1 і М2. Кажуть, що точка М ділить відрізок М1М2. щодо, якщо
Точка М ділить відрізок М1М2 у відношенні.
Точка N ділить той же відрізок М1М2 у відношенні.
Мабуть, при ми отримаємо середину відрізка.
Якщо відомі координати початку М1 і кінця М2 відрізка, то координа...
