ення трикутника MKN потрібно зняти одне ребро, в нашому випадку - MN.
В обох випадках рівність (*) не зміниться. Наприклад, у першому випадку після видалення трикутника граф буде складатися з В-1 вершин, Р-2 ребер і Г ' - багатокутника
(В-1) - (Р-2) + (Г ' -1) = В-Р + Г '
Таким чином, видалення одного трикутника не змінює рівності (*). Продовжуючи цей процес видалення трикутників, зрештою, ми прийдемо до розбиття, що складається з одного трикутника. Для такого розбиття В = 3, Р = 3, Г ' = 1 і, отже В-Р + Г ' = 1. Значить, рівність (*) має місце для вихідного розбиття звідки остаточно отримуємо, що для даного розбиття багатокутника справедливо рівність (*). Таким чином, для вихідного опуклого багатогранника справедливо рівність:
В-Р + Г = 2
Для будь-якого багатогранника вірні нерівності:
В
Інші факти:
Гј Всякий багатогранник має хоча б одну вершину, з якої виходить не більше 5 ребер, а також грань, в якій не більше 5 ребер.
Гј У будь-якому многограннике є хоча б одна трикутна грань або хоча б один тригранний кут.
Гј Не існує багатогранника, у якого рівно 7 ребер. Число 6 і будь-яке ціле число n 8 можуть бути кількістю ребер опуклого багатогранника.
Гј Для всякого опуклого багатогранника мають місце нерівності:
В
Гј У будь-якого багатогранника є принаймні дві грані з однаковою кількістю сторін.
Гј У всякому опуклому многограннике сума плоских кутів всіх граней вдвічі більше суми кутів опуклого багатокутника, що має те ж число вершин.
Якщо на кожній грані опуклого багатогранника вибрати по одній внутрішній точці і з'єднати ребрами ті з обраних точок, які лежать на суміжних гранях, то вийде новий багатогранник, званий зв'язаним з даними. Кількості вершин, ребер і граней даного і сполученого багатогранників зв'язані співвідношеннями В * = Г, Г * = В, Р * = Р.
Задача 1. Перевірити теорему Ейлера для опуклого багатогранника з вершинами в серединах ребер куба. br/>В
Рішення. Кількість вершин нашого багатогранника дорівнює кількості ребер куба, тобто В = 12. p align="justify"> Далі, багатогранник має 8 трикутних граней (стіл...
