ьки, скільки вершин у куба) і 6 чотирикутних граней (на кожній грані куба одна грань нашого багатогранника). Отже, Г = 8 +6 = 14. Нарешті, число ребер дорівнює: Р = 1/2 х (8х3 +6 х4) = 24. p align="justify"> Маємо: 12 +14 = 24 +2.
Завдання 2. Привести приклад якогось багатогранника, у якого 9 вершин і 7 граней. <В
Рішення. Візьмемо який-небудь багатогранник з близькими значеннями чисел В, Р, Г. Наприклад, куб - у нього В = 8, Г = 6. p align="justify"> Зауважимо, що якщо зрізати куб так, як показано на малюнку, то вийде багатогранник з необхідною кількістю вершин, ребер і граней.
1.3 Поняття правильного багатогранника з точки зору топології
Розглянемо поняття правильного багатогранника з точки зору топології - науки, що вивчає властивості фігур, що не залежать від різних деформацій без розривів. З цієї точки зору, наприклад, всі трикутники еквівалентні, оскільки один трикутник завжди може бути отриманий з будь-якого іншого відповідним стисненням або розтягуванням сторін. Взагалі, всі багатокутники з однаковим числом сторін еквівалентні з тієї ж причини. p align="justify"> Як у такій ситуації визначити поняття топологічно правильного багатогранника? Інакше кажучи, які властивості у визначенні правильного багатогранника є топологічно стійкими і їх слід залишити, а які не є топологічно стійкими і їх слід відкинути. p align="justify"> У визначенні правильного багатогранника кількість сторін і граней є топологічно стійкими, тобто не мінливими при безперервних деформаціях. Правильність ж багатокутників не є топологічно стійким властивістю. Таким чином, ми приходимо до наступного визначення. p align="justify"> Опуклий багатогранник називається топологічно правильним, якщо його гранями є багатокутники з одним і тим же числом сторін і в кожній вершині сходиться однакове число граней.
Два багатогранника називаються топологічно еквівалентними, якщо один з іншого можна отримати безперервної деформацією. p align="justify"> Наприклад, всі трикутники піраміди є топологічно правильними многогранниками, еквівалентні між собою. Всі паралелепіпеди також є еквівалентними між собою топологічно правильними многогранниками, наприклад, чотирикутні піраміди. p align="justify"> З'ясуємо питання про те, скільки існує не еквівалентних між собою топологічно правильних багатогранників.
Як ми знаємо, існує п'ять правильних багатогранників: тетраедр, куб, октаедр, ікосаедр і додекаедр. Здавалося б, топологічно правильних багатогранників має бути набагато більше. Однак виявляється, що ніяких інших топологічно правильних багатогранників, що не еквівалентних вже відомим правильним, не існує. p align="justify"> Для доказу цього скористаємося теоремою Ейлера. Нехай дано топологічно правильних багатогранник, гранями якого є п-кутники і в кожній вершині сходиться т ребер. Ясно, що п і т більше і рівн...
