ісце властивість, що зв'язує число його вершин, ребер і граней, доведене в 1752 році Леонардом Ейлером і отримало назву теореми Ейлера. Перш ніж сформулювати цю теорему, досліджуємо відомі нам багатогранники. br/>
Назва багатогранника У Р ГТреугольная піраміда 6 квітня 4Четирехугольная піраміда 5 серпня 5Треугольная піраміда6 9 травня Чотирикутна призма 8 грудня 6
В - число вершин
Р - число ребер
Г - число граней
З цієї таблиці безпосередньо видно, що для всіх обраних багатогранників має місце рівність В-Р + Г = 2. Виявляється, що рівність справедливо не тільки для цих багатогранників, але і для довільного опуклого багатогранника. br/>
Теорема Ейлера
Для будь-якого опуклого багатогранника має місце рівність: В-Р + Г = 2.
Доказ: Для доказу цієї рівності представимо поверхню даного багатогранника зробленої з еластичного матеріалу. Видалимо одну з його граней і залишилася поверхню растянем на площині. Отримаємо багатокутник, розбитий на більш дрібні багатокутники. p align="justify"> Зауважимо, що багатокутники можна деформувати, збільшувати, зменшувати і навіть викривляти їх боку, аби при цьому не відбувалося розривів сторін. Число вершин, ребер, граней і при цьому не зміниться. p align="justify"> Доведемо, що для отримання розбиття багатокутника на дрібніші багатокутники має місце рівності
В-Р + Г ' = 1 (*)
Де В - загальне число вершин, Р - загальне число ребер і Г ' - число багатокутників, що входять до розбиття . Ясно, що Г ' = Г-1, де Г - число граней даного багатогранника.
Доведемо, що рівності (*) не зміниться, якщо в якому-небудь многоугольнике даного розбиття провести діагональ (рис. 1.3а). p align="justify">
Рис.1.3.
Дійсно, після проведення діагоналі в новому розбитті буде У вершин, Р +1 ребро і кількість багатокутників збільшується на одиницю. Отже, маємо В - (Р +1) + (Г ' +1) = В-Р + Г ' . Користуючись цією властивістю, проведемо діагоналі, що розбивають багатокутники на трикутники (рис.3 б), і для отриманого розбиття покажемо здійснимість рівності (*). Для цього будемо послідовно прибирати зовнішні ребра, зменшуючи кількість трикутників. При цьому можливі два випадки:
а) для видалення трикутника АВС потрібно зняти два ребра, у нашому випадку - АВ і ВС;
б) для видал...
