трія давала надзвичайно, простий, зручний і економний спосіб встановлення істинності геометричних міркувань, виробляло сильне враження. Аксіоматичний метод почали намагатися застосовувати не тільки в математичних теоріях, але навіть у філософії (Спіноза). Представники дуже багатьох наук сподівалися, що врешті-решт багато теорії з допомогою аксіоматики можна довести до такого ж витонченості і досконалості як евклідової геометрії. Аксіоматичний метод піддався ретельному вивченню. Перші найбільш важливі результати були отримані знову таки в геометрії. p> П'ятий постулат Евкліда (його можна сформулювати так: дві паралельні прямі не перетинаються, скільки б ми їх НЕ продовжували) здавався математикам менш очевидним, ніж інші. Було зроблено безліч спроб довести цей постулат, за допомогою виведення його з інших постулатів евклідової системи. Але всі ці спроби зазнали невдачі. У 1923 році М.М. Лобачевський і в 1933 р. Бойан побудували геометрію, в якій в якості постулату фігурувало заперечення п'ятого постулату Евкліда, тобто в як аксіоми було взято судження про те, що через точку поза прямою можна провести нескінченно багато прямих, паралельних даній прямій. Спочатку багато математиків зустріли неевклідову геометрію в багнети через її явного протиріччя сприймається фізичного простору. Однак, в 1950 р. Фр. Клейн знайшов дуже вдалу інтерпретацію (роз'яснення) цієї геометрії. Якщо під В«ПлощиноюВ» розуміти внутрішність якогось кола евклідової площині, під В«ТочкоюВ» - точку цього кола, а під В«прямійВ» - хорду його окружності, то всередині кола будуть виконуватися всі аксіоми і теореми геометрії Лобачевського-Бойан. З цих відкриттів були зроблені важливі висновки про будь аксіоматичної системі: аксіоми цієї системи повинні задовольняти вимогам незалежності, повноти, несуперечності і вона не повинна бути виродженою. p> Вимога незалежності означає, що не одна з аксіом не повинна виводитися в якості теореми з інших. Повнота аксіоматики якоїсь теорії означає, що з аксіом за правилами логіки повинні виводитися всі твердження цієї теорії. Система аксіом повинна бути несуперечливої. З них не повинно виводитися якесь твердження разом зі своїм запереченням. Якщо це трапляється, то за законом виключеного третього одне з суджень обов'язково хибне. Яке, встановити не можна, тому що і те і іншого буде виводитися за законами логіки. Нарешті, система аксіом буде невиродженому, якщо вдається знайти якісь об'єкти (фізичні або теоретичні), які описує теорія, виведена з цих аксіом.
Але ще більше питань, пов'язаних з аксіоматичним методом, виникло з відкриттям у XX1 столітті парадоксів теорії множин. Вони представляли собою міркування абсолютно справедливі з інтуїтивної (змістовної) точки зору, але проте призводять до суперечностей. Деякі з них, наприклад, парадокс В«БрехунВ» були відомі з давнину. Нагадаємо, що суть цього парадоксу в наступному: хтось каже: В«Я брешу В». Якщо при цьому він бреше, то сказане ним брехню,...
