(11)
Тоді для доказу опуклості вліво побудованої кривої необхідно переконатися, що для будь-якого точка знаходиться лівіше точки. Перевіримо, що насправді
або
Для цього перетворимо формулу дисперсії прибутковості портфеля в наступному вигляді
В
Тоді з урахуванням (11) отримуємо, що
(12)
Так як параметр t береться з інтервалу (0,1), знак другого доданка в правому вираженні виписаного рівності визначається різницею. Розглянемо коефіцієнт кореляції, що визначає залежність доходностей акцій першого і другого типів. За визначенням, коваріація може бути отримана з коефіцієнта кореляції за такою формулою:
.
Підставляючи це в рівність (12) і взявши корінь, знаходимо, що
. (13)
Так як коефіцієнт кореляції задовольняє нерівностям звідси відразу випливає, що, причому рівність тут можливо тільки в тому випадку, якщо. Таким чином, при має місце суворе нерівність, і, значить, опуклість вліво побудованої кривої. Як вже було відмічено, якщо коефіцієнт кореляції дорівнює одиниці, то й побудована крива є відрізок, що з'єднує точки і. У цьому виродженому випадку ймовірносними методами неважко показати, що дохідності і як випадкові величини пов'язані між собою лінійною залежністю майже напевно:
п.н., (14)
з позитивним коефіцієнтом лінійної залежності (тут константи і невипадкові). Це означає, що представлені акції є сильно залежними і ризик інвестицій в портфель з цих акцій може бути зменшений тільки пропорційно зменшенню очікуваної прибутковості портфеля. Протилежної даного випадку є ситуація, коли коефіцієнт кореляції. У цьому випадку також має місце лінійна залежність (14). Якщо в результаті прибутковість по одній акції виявилася негативною, то прибутковість по інший обов'язково позитивна. Останнє дає можливість знизити ризики до мінімального для цього виродженого випадку. Розглянемо вид допустимої кривої на площині В«ризик-прибутковістьВ» за умови. Підставляючи це значення у формули (11) і (13), отримуємо
В
У силу властивостей модуля, в підсумку маємо, що
В
Отже, в цьому випадку крива буде представляти собою два прямих відрізка і (див. рис. 3). Неважко побачити, що, при, і портфель є безризиковою інвестицією з невипадковою прибутковістю, рівної
В
Це означає, що в розглянутій виродженої ситуації можна підібрати портфель акцій таким чином, що ризик інвестицій у цей портфель стане нульовим.
В
Рис. 3. Залежність кривої В«ризик-прибутковістьВ» від коефіцієнта кореляції
Таким чином, допустимі криві на площині В«ризик-прибутковістьВ» є дугами гіперболи з кінцями у точках і. Як видно з малюнка, чим менше коефіцієнт кореляції по акціях, тим більш опуклою є дуга гіперболи, а значить, тим більше можливостей зменшити ...
