му, яка до цих пір хвилює багатьох математиків. На початку шістдесятих років цього століття було встановлено, що існують як системи аксіом, в яких гіпотеза континууму істинна, так і аксіоматичні побудови, в яких вона помилкова. p> У теорії множин доведені наступні цікаві твердження:
. Для будь-якого безлічі A існує безліч більшої потужності. p>. Безлічі самої великої потужності не існує. p>. Безліч всіх підмножин множини A має потужність більшу, ніж потужність A.
. Безліч всіх підмножин рахункового безлічі має потужність континууму. p> Теорія множин сповнена проблем і парадоксів, які і в даний час викликають інтерес у дослідників. Ось, наприклад, парадокс Б. Рассела. p> Нехай M - множина всіх множин, а N - безліч всіх його підмножин. Тоді потужність множини N всіх підмножин повинна бути більше потужності множини M (за твердженням 3). Але N - підмножина або N = M.
Глава V. Числові безлічі
На всіх етапах розвитку математики уявлення про числі визначали рівень значущості математичних знань. Глибоке проникнення в теорію числових множин поєднувалися з містичним і наївним розумінням їх властивостей. Багато досягнення теорії чисел з'являлися як зухвалі здогади людської думки. p align="justify"> Уявлення про числі існувало ще в далекій давнині, але лише в XIX столітті ці знання стали формуватися в строгу наукову теорію.
Ще піфагорійців в VI V століттях до н.е. при вимірюванні геометричних величин зіткнулися з недостатністю раціональних чисел при вирішенні деяких завдань. З цієї причини дії проводилися над геометричними величинами, а не над виражають їх числами. Перші спроби введення ірраціональних чисел були зроблені в VI столітті до н.е. грецькими математиками Теетет і Евдоксом, пізніше в Засадах Евкліда. Лише через півтора тисячоліття арабська математик і поет Омар Хайям вніс новий внесок у розуміння ірраціональності. Щоб звільнити алгебру від геометричної форми, було потрібно створити загальне уявлення про числа і діях над ними, не засноване на геометрії.
Поняття дійсного числа з'явилося в математиці не відразу. Багато задач теорії дійсних чисел мають дуже давню історію. Проблеми, що виникали при вивченні різних числових множин, з'являлися спонтанно, відокремлено, зумовлюючи часом рішення суміжних питань. Але глибоке розуміння цих проблем виникло, мабуть, пізніше створення самого математичного аналізу, заснованого на теорії дійсних чисел. p align="justify"> Потреби рахунку предметів призвели до появи безлічі натуральних чисел
.
Далі практична діяльність розширила поняття числа. Виникли цілі числа
В
і раціональні числа
,
де
Будемо вважати, що дріб
В
нескоротний. Це...
