над U, задане формулою; це коваріантна похідна X за напрямом Y (n). p> (I) вимірює, наскільки X не горизонтально в напрямку t. Точніше, порівнюються підйом вектора t, породжений перетином X, а саме dXt, і горизонтальний підйом H '(dXt) вектора t, де H' - зв'язність на W, індукована аффинной связностью на В (М). Так як шари в W - векторні простору, то тим способом, яким векторний простір зазвичай ототожнюється зі своїми дотичними просторами, ототожнив вертикальні дотичні з елементами цих шарів. Після ототожнення визначимо
В
(II) - це диференціювання щодо паралельного переносу. Нехай? - Крива в М, причому? * (0) = t, хай-такий базис шару F над? (U), що кожне еi виявляється горизонтальним підйомом кривої?, Тобто еi (u) виходить паралельним перенесенням вектора еi (0 ) уздовж? в? (u). Визначимо речові З В° В°-функції fi з розкладання. Тоді
В
(III) відповідає похідної в горизонтальному напрямку деякої функції на В (М), асоційованої з X. p> Для кожного визначимо
В
Таким чином, - функція на зі значеннями в F. Зауважимо, що. Зворотно, всяка-функція, така, що, породжує перетин виду. p> У цьому випадку настільки ж просто визначити, як і. Нехай - єдиний горизонтальний підйом поля Y в W, так що-єдина горизонтальна дотична, для якої. Тоді - перетин, асоційоване з функцією. p> Щоб визначити зв'язність, досить задати коваріантній диференціювання в дотичному розшаруванні, оскільки перший вищевказаний приклад дає диференціальне рівняння для паралельного перенесення вздовж?. Це диференціальне рівняння лінійно і, отже, має єдине рішення при будь-якому початковому умови. p> Таким чином, аффинная зв'язність визначена, коли незабаром будь-яким, і векторному полю X віднесений елемент, такий, що
(I) лінійно по t:
,
де;
(II) якщо f - речова З В° В°-функція на М, то
В
Іноді коваріантній похідну зручно звернути, тобто для кожного векторного З В° В°-поля X, заданого на відкритій множині, розглянути лінійне перетворення, визначене на кожному Мm с за формулою. Зв'язність тоді визначається завданням перетворення, що задовольняє умові, відповідному (II):. Виведемо пряме співвідношення між коваріантним дифференцированием векторних полів і формою зв'язності на В (М). Воно залежить від деякого локального перерізу над? в В (М). Нехай-такі векторні поля, визначені на відкритій множині, що відображення
В
є перетином. Для довільних векторних полів і X на U визначимо
В
коваріантній похідна поля Y в напрямку X і форма зв'язності? пов'язані співвідношенням
(III),
де розглядаються тепер як відображення Rd в Мm. p> Так як? відомо на вертикальних дотичних, а вертикальні дотичні разом з дотичними виду породжують, то з формули (III)? визначається на всьому і, значить, в силу еквіваріантності, на всьому.
