Курсова робота
Інтегральні характеристики векторних полів
Москва 2014
Зміст
векторний поле ротор інтеграл
Введення
. Криволінійні інтеграли та їх обчислення
. Поверхневі інтеграли та їх обчислення
. Потік векторного поля
. Циркуляція і ротор векторного поля
. Теорема Гаусса-Остроградського
. Теорема Стокса
. Питання та завдання
Список використаної літератури та джерел
Введення
У першому розділі ми ввели диференціальні характеристики полів: градієнт, дивергенцію, ротор. У цій главі розглянемо інтегральні характеристики полів і з'ясуємо фізичний зміст дивергенції і ротора. Введемо ці поняття безвідносно до системи координат, а також сформулюємо ряд теорем, які широко використовуються в додатках. У першу чергу, це теореми Гаусса-Остроградського і Стокса. Коротко нагадаємо також методи обчислення криволінійних і поверхневих інтегралів.
1. Криволінійні інтеграли та їх обчислення
Розглянемо деякий скалярний полі. Нехай у просторі задана деяка крива АВ, яка визначається рівняннями
,
де t - деякий параметр. Розіб'ємо лінію АВ на маленькі відрізки.
Складемо суму
.
Тут - довжина відрізка (скаляр).
Визначення 1. Криволінійним інтегралом першого роду називається межа інтегральної суми
.
Криволінійні інтеграли першого роду часто називають інтегралами по довжині. Якщо крива задана параметрично, то елемент довжини визначається формулою
.
Для плоскої кривої, заданої рівнянням, диференціал довжини має вигляд
.
З'ясуємо фізичний зміст криволінійного інтеграла першого роду. Якщо - лінійна щільність речовини (маса одиниці довжини), то криволінійний інтеграл по кривій АВ дозволяє визначити масу кривої АВ.
Приклад 1. Обчислити криволінійний інтеграл
вздовж параболи від точки А (0,0) до точки В (2,4).
Рішення.
Відповідь:
.
Приклад 2. Обчислити криволінійний інтеграл
,
де L - коло радіуса R .
Рішення. Введемо полярну систему координат (заміна змінних)
.
Після підстановки цих виразів в інтеграл отримаємо
