дно, F є С В° В°-відображення. У силу теорем з програми про диференціальних рівняннях, існує З В° В°-відображення G околиці в В (М), заданий формулою G (u, b, с, t) =? (U), де? - Інтегральна крива поля з? (0) = b. Тоді
В
Слідство. Відображення виду
В
визначено на деякій околиці тривіального перерізу розшарування Т (М) і належить З В° В°. p> Доказ. Нехай, виберемо З В° В°-розтин? над околицею m в В (М). Тоді на цій околиці відображення
В
в належить З В° В° і
В
Афінна зв'язність називається повною, якщо всі геодезичні можна необмежено продовжувати, тобто якщо кожне експоненціальне відображення визначено на всьому дотичному просторі. Це еквівалентно тому, що локальна група перетворень різноманіття В (М), породжена базисним В· векторним полем Е (х), триває до глобальної однопараметричної групи перетворень різноманіття В (М). Повнота в сенсі ріманової зв'язності еквівалентна повноті в сенсі ріманової метрики. p> Координатне відображення, називається нормальним координатним відображенням в точці, якщо прообрази променів, що проходять через, є геодезичними (промінь - це пряма лінія виду,.
Вибравши базис с, ототожнив з МВ. Комбінуючи це ототожнення і ехрm, за допомогою теореми доведеною вище переконуємося, що відображення служить зворотним для нормальної координатної системи в точці m. p> У нормальній координатної округа N, області визначення нормального координатного відображення?, яку точку можна з'єднати з єдиною геодезичної в N.
Зазначимо, що якщо і кривизна, і кручення звертаються в нуль, то, існують координатні системи, зворотні до яких переводять проізольние прямі з в геодезичні; таким чином, ці координатні системи нормальні щодо кожної зі своїх крапок. Це афінний варіант локальної ізометрії плоского ріманова різноманіття з евклідовому простором. br/>
.4 коваріантній диференціювання та класичні формулювання
За допомогою паралельного перенесення в Т (М) можна визначити приватні похідні векторних полів. Взагалі це можна зробити в будь-якому векторному розшаруванні, асоційоване з В (М): представлення групи Gl (d, R) на векторному просторі F породжує поняття коваріантного диференціювання перерізів асоційованого розшарування з шаром F. Дамо кілька визначень, відволікаючись від питань еквівалентності та незалежності від вибору кривої. Фіксуємо аффинную зв'язність H з формою ?.
Нехай (W, F, G, М) - векторне розшарування, асоційоване з В (М), з шаром F і групою G = Gl (d, R).
Тоді кожне породжує такий ізоморфізм F на шар над в W, що b (gf) = (bg) f прі. Нехай U-околиця крапки - перетин над U і. Ми дамо кілька визначень, коваріантній похідної перерізу X за напрямом t. Часто також використовується і позначення DtX. Перш за все, буде елементом шару W над m. Якщо Y - векторне поле на U, то буде позначати перетин...
