fy">
2. Аффинное простір n вимірювань Вихідним пунктом усіх геометричних теорій є властивості протяжності матеріальних тіл і притому в основному в тому вигляді, як вони були фіксовані в найстаршій геометричній теорії - в геометрії звичайного тривимірного евклідового простору. Зокрема, і аффинная геометрія має те ж джерело; а саме, аналіз різних геометричних властивостей звичайного простору показує, що вони не всі рівноцінні за ступенем своєї стійкості, за ступенем тієї міцності, з якою вони пов'язані з геометричними фігурами. Одні, як, наприклад, ставлення будь-яким чином розташованих відрізків, величина кута, властивість фігури бути кругом або кулею і т.д., зберігаються лише при рухах простору як твердого тіла; інші, більш стійкі, як, наприклад, ставлення паралельних відрізків, паралельність двох прямих, властивість фігури бути прямою лінією або площиною і т.д., зберігаються, крім того, і при всіх афінних перетвореннях простору. Цей, більш глибоко лежачий і більш міцно пов'язаний з геометричними фігурами клас властивостей і утворює аффинную геометрію. br/>
.1 Точково-векторна аксіоматика афінного простору
Основними поняттями, що не підлягають прямому логічному визначенню, будуть служити у нас точка і вектор. Тоді нам достатньо визнати наступні аксіоми. p align="justify">. Існує, щонайменше, одна точка. p align="justify">. Кожній парі точок А, В, заданих у певному порядку, поставлений у відповідність один і тільки один вектор. p> Цей вектор ми будемо позначати, але, якщо знадобиться, будемо користуватися позначенням у вигляді окремої (жирної) літери a, x і т.п. p>. Для кожної точки А і кожного вектора x існує одна і тільки одна точка В така, що
В
Знак = між векторами ми будемо розуміти в сенсі тотожності.
Слід підкреслити, що при наочному тлумаченні нашої аксіоматики вектор виступає не у вигляді спрямованого відрізка, а у вигляді паралельного зсуву, якому піддаються всі точки простору. Тому наочний сенс аксіоми 2 полягає в існуванні (єдиного) паралельного зсуву, що перекладає дану точку А в дану точку В, а аксіома 3 в сутності означає, що кожен вектор x реалізується у вигляді зсуву, а саме, кожній точці А ставлять у відповідність певну точку В.
. (Аксіома паралелограма) Якщо
, то.
Очевидно, наочний сенс аксіоми 4 в основному полягає в тому, що при рівності і паралелізм однієї пари протилежних сторін чотирикутника, те ж має місце і для іншої пари. p> Перераховані чотири аксіоми утворюють у відомому сенсі закінчену частину аксіоматики: інші аксіоми ставляться до множення вектора на число і тим самим носять інший характер. Тому, перш ніж перераховувати інші аксіоми розглянемо слідства аксіом 1-4. p> Теорема. Вектори і для будь-яких точок A, B рівні між собою:
В
Для доказу достатньо застосовувати аксіому 4, поклавши С = А, D = B. То...
