науковість. p align="justify"> У зв'язку з цим Дедекінд вирішив знайти суворе і чисто арифметичне обгрунтування для початків аналізу нескінченних, а саме, для основного поняття цього розділу - безперервності. Сам вчений стверджує, що відкрив даний арифметичне пояснення 24 листопада 1858, але зважився опублікувати його тільки після прочитання статті вченого Гейне, (E. Heine, Crelle s Journal. Bd. 74), так як виклад самого Дедекинда здалося йому більш "простим за формою і більш точно висуває даний ядро ​​питання."
2.1 Раціональні числа і раціональні точки на числовій прямій
Перейдемо до опису деяких властивостей раціональних чисел. Вони, безумовно, добре відомі були і до Дедекинда, і немає безпосередньої необхідності визначати їх заново, однак, це потрібно для повного і суворого опису системи. Дедекінд позначає раціональні числа буквою "R", ми будемо дотримуватися того ж позначення, хоча в сучасній математиці під безліччю "R" зазвичай мають на увазі всі дійсний числа. p> З точки зору порівняння раціональних чисел (,,, при цьому ми розуміємо як) система R має такі властивості:
В· Якщо,, то.
Як говорить Дедекінд, "не побоюючись відгомону геометричних уявлень, будемо це висловлювати так: b лежить між обома числами a і c", при цьому мова не йде про геометричній інтерпретації, а тільки про словесному позначенні цього властивості.
В· Якщо a і b суть два різних числа, то завжди існує нескінченна безліч чисел, що лежать між a і b.
В· Якщо а є певне число, то всі числа системи R розпадаються на два класи і, кожен з яких містить нескінченно багато індивідуумів (тут: раціональних чисел). Клас - числа, менші а, клас - великі. Саме число а може бути віднесено до будь-якого з двох класів. Тоді воно є або найбільшим числом в першому класі, або найменшим у другому. У будь-якому випадку, кожне число першого класу не більше будь-якого числа з другого. p align="justify"> Такі властивості раціональних чисел можна легко асоціювати з розташування точок на прямій (пряму позначимо через L). Я дозволю собі не переписувати, як це зробив Дедекінд, аналогічні властивості для точок, зауважу тільки, що, якщо всі слова "число а більше числа bВ» замінити на В«точка а лежить правіше точки b", то шукані властивості вийдуть.
Однак це всього лише властивості двох систем, і, як відомо, ототожнити їх не можна. Квадратний корінь з двох, наприклад, не є раціональним числом, але як довжину діагоналі квадрата зі стороною одиниця, його, звичайно, можна відкласти на дійсній прямій. І точок, що не відповідають ніякому раціональному числу? на прямий нескінченно багато (домножимо корінь і двох на будь раціональне). Для того, щоб область R придбала ту ж повноту, що я пряма, її потрібно доповнити новими числами, але тоді ірраціональні числа повинн...
