="justify"> y k в точках x k , то, взагалі кажучи, про якість отриманого наближення судити важко. Однак, якщо значення ? (x) можуть бути обчислені в будь-якій точці відрізка [ a, b ], то в цьому випадку можна досліджувати якість получающегося наближення, наприклад знайшовши максимальне ухилення функції g (x) від функції ? (x) . На якість наближення сильний вплив робить кількість і розташування вузлів, а також гладкість функції ? (x). Ці питання і будуть чисельно досліджені в наступних розділах.
Ми розглянемо тільки лінійну інтерполяцію, тобто таку, при якій функція g (x) розшукується у вигляді лінійної комбінації деяких функцій
В
де для k = 1,2,., n +1 : ? k (x) - задані функції, а a k - шукані коефіцієнти. Ясно, що з постановки задачі інтерполяції (тобто зі збігу значень інтерполянта g (x) і інтерпольованої функції ? (x) в точках x k ) випливає, що коефіцієнти a k визначаються з рішення наступної системи лінійних алгебраїчних рівнянь:
В
або в розгорнутій формі
В
Абсолютно ясно, чому число коефіцієнтів a k має збігатися з числом вузлів інтерполяції x k . Це потрібно для того, щоб матриця системи була квадратної (тобто число невідомих збігалося б з числом умов, з яких знаходяться ці невідомі). Крім того, для однозначної розв'язності даної системи (при довільній правій частині) необхідно і достатньо, щоб їх визначник був різниться від нуля, тобто
В
Дуже часто в якості системи функцій ? k (x ) вибирають поліноми, наприкла...
