д ступеня x , саме:
В
Тоді відповідний інтерполянт називають інтерполяційним поліномом. Існування і єдиність інтерполяційного полінома гарантується, якщо всі вузли інтерполяції x k різні. Дійсно, визначник системи лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження коефіцієнтів a k
В
є визначником Вандермонда, який, як відомо, дорівнює
В
і, отже, відмінний від нуля у випадку, коли всі вузли x k різні. Оскільки матриця системи невирождени, то рішення системи існує і єдино. Отже, інтерполяційний поліном існує і єдиний.
Можна міркувати і по-іншому. Припустимо, що є два інтерполяційних полінома g k і h k ступеня n такі, що для довільного набору значень виконуються рівності g (x k ) = h (x k ) = y k ) для всіх k = 1,2,., n +1 , тобто для n +1 -ої точки. Тоді їх різниця h k - g k є поліномом ступеня не вище n , але звертається в нуль в n +1 -ій точці. За відомою теоремою алгебри у полінома ступеня n не може бути більше ніж n коренів, отже h k - g k ? 0 і h k ? g k . Одиничність встановлена. А так як поліном єдиний, то у відповідній системи лінійних алгебраїчних рівнянь є тільки одне рішення (для довільної правої частини). З результатів лінійної алгебри відомо, що у системи може бути або нескінченне число рішень при деяких правих частинах, або єдине, для довільної правої частини. Останнє якр...
